结论：面对私人老板欠工资且店铺已倒闭无能力偿还的情况，您可以通过协商、申请劳动仲裁、申请强制执行以及考虑申请支付令等多种途径来维护自己的合法权益。
详细分析：
协商解决：
- 尝试沟通：首先，您可以尝试与老板进行友好沟通，了解其目前的财务状况和还款计划。虽然店铺已倒闭，但老板可能仍有其他资产或收入来源，可以协商分期偿还或制定其他还款方案。
- 保留证据：在沟通过程中，务必保留好所有与工资支付相关的证据，如工资条、转账记录、劳动合同等，以备后续维权之需。
申请劳动仲裁：
- 提交申请：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会提交劳动仲裁申请，要求老板支付拖欠的工资。劳动仲裁是解决劳动争议的一种有效方式，其裁决具有法律效力。
- 准备材料：在提交申请时，您需要准备相关证据材料，如劳动合同、工资条、工作证等，以证明您与老板之间的劳动关系以及工资拖欠的事实。
申请强制执行：
- 仲裁裁决后：如果劳动仲裁委员会裁决老板支付工资，但老板仍不履行裁决，您可以向法院申请强制执行。法院将依法对老板的财产进行查封、扣押或拍卖，以强制其履行支付工资的义务。
- 提供财产线索：在申请强制执行时，您需要尽可能提供老板的财产线索，如银行账户、房产、车辆等，以便法院能够迅速采取执行措施。
考虑申请支付令：
- 适用条件：如果您的债权债务关系明确，且老板对拖欠工资的事实无异议，您可以考虑向法院申请支付令。支付令是一种督促债务人履行债务的法律文书，具有快速、简便的特点。
- 提交申请：在申请支付令时，您需要提交书面申请书和相关证据材料，如劳动合同、工资条等。法院将在审查后决定是否发出支付令。
额外建议：
- 关注老板动态：在维权过程中，您可以关注老板的动态，了解其是否有转移财产等逃避债务的行为。如果发现此类行为，您可以及时向法院报告，以便法院采取相应措施。
- 寻求法律援助：如果您在维权过程中遇到困难或需要法律帮助，可以寻求当地法律援助机构的支持。法律援助机构将为您提供免费的法律咨询和代理服务，帮助您维护自己的合法权益。
后续行动：
- 在采取上述措施的同时，建议您保持与老板的沟通联系，了解其还款意愿和计划，以便及时调整维权策略。
- 如果老板确实无力偿还工资，您可以考虑与其协商以其他方式抵偿债务，如以物抵债等。但务必确保协商过程合法合规，并保留好相关证据材料。
总之，面对私人老板欠工资且店铺已倒闭无能力偿还的情况，您有多种途径可以维护自己的合法权益。希望以上建议能够对您有所帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。