结论：办入职当天，单位一般不可以随意解除与劳动者的关系，但具体是否可以解除需根据实际情况判断。

分析如下：

1. 入职手续的完成与劳动关系的建立：

   • 入职手续的完成，通常意味着劳动者与用人单位之间已经建立了劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动关系一旦建立，用人单位就应当按照法律规定和劳动合同的约定，为劳动者提供劳动条件，支付劳动报酬，并承担相应的法律责任。

2. 单位解除劳动关系的条件：

   • 在劳动关系建立后，单位若想要解除与劳动者的关系，必须符合法律规定的条件，如劳动者存在严重违反用人单位规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等情形。
   • 若单位在办入职当天就无故解除与劳动者的关系，且没有合法合理的理由，那么这种行为很可能构成违法解除劳动关系。

3. 违法解除劳动关系的后果：

   • 如果单位违法解除劳动关系，劳动者有权要求单位继续履行劳动合同，或者要求单位支付赔偿金。赔偿金的计算通常依据劳动者在单位的工作年限和工资水平来确定。
   • 此外，劳动者还可以向劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

4. 特殊情况下的解除：

   • 当然，也存在一些特殊情况，如劳动者在入职前隐瞒了重要信息或提供了虚假材料，导致单位在入职后发现并决定解除劳动关系。在这种情况下，如果单位能够证明劳动者的行为构成了欺诈或严重违反诚信原则，那么单位解除劳动关系可能是合法的。

建议：

• 对于劳动者而言，在办入职时应当如实提供个人信息和材料，遵守用人单位的规章制度，以维护自己的合法权益。
• 对于单位而言，在解除劳动关系时应当谨慎行事，确保解除行为符合法律规定和劳动合同的约定，避免引发不必要的法律纠纷。

后续行动：

• 如果您或您身边的人遇到了类似的情况，建议及时收集相关证据，如劳动合同、入职通知、解除通知等，以便在需要时维护自己的合法权益。
• 有任何劳动纠纷方面的问题，都可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。