针对成年人失踪且手机关机，家人怀疑人身受到威胁的情况，家人应首先向当地公安机关报案，这是能够更早启动立案调查的关键步骤。以下是从不同角度对此问题的详细分析：

1. 报案流程与立案条件：

   • 报案：家人应立即携带相关身份证明和失踪者的基本信息（如姓名、年龄、外貌特征、最后出现地点等）到当地公安机关报案。报案时，应详细陈述失踪者的失踪情况、可能遭遇的危险以及家人的怀疑和担忧。
   • 立案条件：公安机关在接到报案后，会根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，对报案材料进行审查。如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，会立即立案进行调查。在失踪案件中，如果家人有合理理由怀疑失踪者可能遭受了非法侵害（如绑架、拐卖等），公安机关通常会予以重视并尽快立案。

2. 公安机关的调查措施：

   • 立案后，公安机关会启动一系列调查措施，包括但不限于调取监控录像、询问目击者、发布寻人启事、进行技术侦查等，以尽快查明失踪者的下落和可能遭遇的危险。
   • 如果怀疑失踪者可能遭受了非法侵害，公安机关还会根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的规定，采取相应的刑事强制措施，如拘留、逮捕犯罪嫌疑人等，以保护失踪者的安全并追究犯罪者的刑事责任。

3. 家人的配合与协助：

   • 提供信息：家人在报案后，应积极配合公安机关的调查工作，提供尽可能多的关于失踪者的信息和线索，如失踪前的行踪、社交关系、可能接触的人员等。
   • 保持联系：家人应保持与公安机关的密切联系，及时了解调查进展和结果，并根据公安机关的要求提供必要的协助和支持。

4. 其他可能的途径：

   • 如果公安机关初步调查后认为不构成刑事案件，但家人仍然担心失踪者的安全，可以考虑向当地民政部门或救助机构寻求帮助，他们可能会提供寻人服务或协助家人进行进一步的寻找。
   • 在极端情况下，如果家人认为公安机关的调查不够积极或有效，也可以考虑通过法律途径（如申请行政复议或提起行政诉讼）来维护自己的合法权益。但这种情况较为罕见，且需要充分的证据和理由来支持。

总结与建议：

• 家人应首先向当地公安机关报案，这是启动立案调查的关键步骤。
• 报案时，应详细陈述失踪情况和怀疑理由，提供尽可能多的信息和线索。
• 积极配合公安机关的调查工作，保持与公安机关的密切联系。
• 如果认为公安机关的调查不够积极或有效，可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益，但这种情况需要谨慎处理并咨询专业律师的意见。

如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。