结论：在成年人失踪且手机关机，家人感觉其可能会构成伤害的情况下，家人可以向公安机关报案，但公安机关是否立案需根据具体情况判断。以下从多个角度进行详细分析：
一、报案与立案的法律基础
报案权利：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，任何单位和个人发现有犯罪事实或者犯罪嫌疑人，都有权利也有义务向公安机关报案或者举报。因此，家人作为发现可能存在犯罪情况的主体，有权向公安机关报案。
立案条件：
- 公安机关在接到报案后，会根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条的规定，对报案材料进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并应当将不立案的原因通知控告人。
二、具体情境下的立案可能性
有明确犯罪线索：
- 如果家人能够提供明确的犯罪线索，如失踪者最后出现的地点、时间，以及可能涉及的犯罪嫌疑人信息等，公安机关在审查后认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，会予以立案。
无明确犯罪线索，但存在合理怀疑：
- 如果家人仅基于失踪者手机关机、长时间未联系等情形，怀疑其可能受到伤害，但缺乏具体犯罪线索的，公安机关可能会进行初步调查，如询问失踪者的亲友、查看监控录像等，以判断是否存在犯罪事实。若初步调查后认为存在犯罪嫌疑的，也会予以立案。
无法证明存在犯罪事实：
- 如果经过初步调查，公安机关认为失踪者可能只是自行离家出走、迷路或其他非犯罪原因导致的失踪，且无法证明存在犯罪事实的，可能不会予以立案。但在此情况下，公安机关仍会采取必要的查找措施，如发布寻人启事、协助家人查找等。
三、家人的应对措施
及时报案：
- 家人一旦发现成年人失踪且手机关机，应立即向公安机关报案，并提供尽可能详细的失踪者信息、最后出现地点和时间等线索。
配合调查：
- 在公安机关调查过程中，家人应积极配合，提供必要的协助和信息，如失踪者的生活习惯、社交圈子、可能去的地方等，以帮助公安机关尽快查明真相。
寻求法律援助：
- 如果家人对公安机关的处理结果有异议，或者认为公安机关未依法履行职责的，可以寻求法律援助，如向上一级公安机关申诉、向人民检察院提出立案监督请求等。
四、法律后果与风险提示
法律后果：
- 如果公安机关经过调查后认为存在犯罪事实并予以立案的，将依法开展侦查工作，追究犯罪嫌疑人的刑事责任。
风险提示：
- 家人应理性看待立案问题，不要因急于找到失踪者而夸大事实或提供虚假信息。否则，可能面临法律责任，如被处以罚款、拘留等行政处罚，甚至构成犯罪的，还将被追究刑事责任。
总结与建议：在成年人失踪且手机关机的情况下，家人应首先向公安机关报案，并提供尽可能详细的线索和信息。公安机关将根据具体情况判断是否立案，并依法开展侦查工作。家人应积极配合调查，理性看待立案问题，并寻求必要的法律援助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。