结论：能否起诉甲方公司，需根据具体情况判断，主要看新公司与甲方公司的关系、员工与新公司的劳动关系认定以及未签合同的责任归属等因素。以下从不同角度详细分析：
一、劳动关系认定是关键
若员工与新公司构成劳动关系：
- 根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。新公司未与员工签订劳动合同，员工通常应先向新公司主张权利，如要求签订合同、支付未签合同期间的双倍工资差额等。
- 举例：假设员工被原外包公司安排到新公司工作，新公司实际对员工进行管理、指挥，并支付工资，那么员工与新公司之间就构成了劳动关系。此时，员工应先与新公司协商或通过劳动仲裁等方式解决未签合同的问题。
若员工与新公司不构成劳动关系，而与甲方公司仍存在劳动关系：
- 如果员工虽然在新公司工作，但实际上仍受甲方公司的管理、指挥，且工资由甲方公司支付，或者存在其他能够证明员工与甲方公司仍存在劳动关系的证据，那么员工可以起诉甲方公司。
- 举例：有些情况下，甲方公司可能为了规避法律责任，通过更换外包公司的形式来掩盖真实的劳动关系。如果员工能够提供证据证明自己实际上一直与甲方公司存在劳动关系，如工作证、工资条、考勤记录等，那么就可以向甲方公司主张权利。
二、新公司与甲方公司的关系影响责任承担
若新公司与甲方公司是独立法人：
- 一般情况下，新公司作为独立的用人单位，应承担未与员工签订劳动合同的法律责任。员工应先向新公司主张权利，而不是直接起诉甲方公司。
- 例外情况：如果甲方公司在新公司与员工的关系中存在过错，如指示新公司不与员工签订合同，或者与新公司共同实施了侵害员工权益的行为，那么甲方公司可能需要承担连带责任。
若新公司是甲方公司的分支机构或关联公司：
- 如果新公司没有独立的法人资格，或者虽然具有独立法人资格但与甲方公司存在紧密的关联关系，且在实际操作中甲方公司对新公司的用工行为进行控制或干预，那么员工在起诉时可以将甲方公司和新公司列为共同被告。
三、法律建议
收集证据：
- 员工应尽可能收集能够证明自己与新公司或甲方公司存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录、工作邮件、聊天记录等。
- 同时，收集新公司未与自己签订劳动合同的证据，如新公司拒绝签订合同的书面通知、录音等。
协商与仲裁：
- 在收集到足够证据后，员工可以先尝试与新公司或甲方公司进行协商，要求签订合同或支付未签合同期间的双倍工资差额。
- 如果协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
起诉：
- 如果劳动仲裁结果不满意，员工可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。在起诉时，应根据前面分析的情况，合理确定被告主体。
后续思考依据：在处理此类案件时，法院会综合考虑各种因素来判断劳动关系的归属以及责任承担主体。因此，员工在维护自己权益时，应充分了解相关法律法规，收集足够证据，并根据实际情况选择合适的维权途径。如果你有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。