结论前置：针对您与单位一年一签劳动合同，第二年单位不续签的情况，您确实有权采取法律行动，但具体方式并非直接“起诉”，而是应先通过劳动仲裁程序解决，对仲裁结果不服的，再向法院提起诉讼。以下是对此问题的详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止时，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。这意味着，如果单位在第一年合同期满后，未与您续签劳动合同，且没有维持或提高原劳动合同条件，那么单位应当向您支付经济补偿。
二、经济补偿的计算与支付
经济补偿的计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
支付方式：经济补偿应当在劳动合同终止时一次性支付给劳动者。
三、劳动仲裁与诉讼程序
劳动仲裁：当您与单位因劳动合同终止及经济补偿问题发生争议时，您应首先向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是解决劳动争议的前置程序，未经仲裁，一般不能直接向法院提起诉讼。
诉讼程序：如果您对劳动仲裁的结果不服，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。法院将依法审理案件，并作出判决。
四、实际操作建议
收集证据：在申请劳动仲裁前，您应收集好与单位签订的劳动合同、工资单、工作证等证据，以证明您与单位存在劳动关系以及您的工资水平。
咨询专业律师：虽然我在这里为您提供了一些基本的法律知识和建议，但劳动争议案件往往涉及复杂的法律问题和证据收集，因此，我建议您在申请劳动仲裁前咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
及时行动：劳动争议的仲裁时效为一年，从您知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您应及时采取行动，以免错过仲裁时效。
最后，针对您的情况，我建议您先与单位进行协商，看是否能够达成和解。如果协商无果，再按照上述程序申请劳动仲裁并寻求法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。