结论：能否索赔需分情况讨论，主要取决于未缴纳保险的性质、当地劳动法规的具体规定以及您是否能够提供有效证据。以下从不同角度为您详细分析：
- 社会保险未缴纳的索赔可能性
根据《社会保险法》和《劳动合同法》，用人单位必须为员工缴纳社会保险（包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险）。如果用人单位未依法缴纳，您有权要求补缴，且该权利不受离职时间限制。
- 操作方式：您可向当地社保部门投诉，要求用人单位补缴社保。社保部门会核查用人单位的缴费记录，并责令补缴。
- 注意事项：补缴社保需提供劳动合同、工资流水等证明劳动关系的材料。若用人单位拒绝补缴，社保部门可对其处以罚款。
- 未缴纳社保导致的直接损失索赔
如果因未缴纳社保导致您无法享受社保待遇（如医疗费用无法报销、失业金无法领取等），您可要求用人单位赔偿实际损失。
- 举证责任：您需证明损失与未缴纳社保的因果关系（如医疗发票、失业证明等）。
- 时效限制：劳动争议申请仲裁的时效为1年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。但若涉及社保补缴，时效可能延长至劳动关系终止后2年内（具体以地方规定为准）。
- 经济补偿金的索赔可能性
若用人单位未依法缴纳社保，您可依据《劳动合同法》第38条以“未依法缴纳社会保险费”为由解除劳动合同，并主张经济补偿金。
- 补偿标准：按您在用人单位的工作年限，每满1年支付1个月工资（6个月以上不满1年按1年计算，不满6个月支付半个月工资）。
- 关键点：您需在离职时明确以“未缴纳社保”为由提出解除劳动合同，并保留书面证据（如离职申请、邮件等）。
- 未签订劳动合同的双倍工资差额
若您工作两年期间未签订书面劳动合同，用人单位还需支付11个月的双倍工资差额（自用工满1个月的次月起计算）。但需注意，该请求的仲裁时效为1年，自用工满1年的次日起计算（即您需在离职后1年内提出）。
行动建议：
- 收集证据：劳动合同、工资流水、工作证、考勤记录等证明劳动关系的材料；
- 向社保部门投诉要求补缴社保；
- 若涉及经济补偿或双倍工资，可向劳动仲裁委申请仲裁（需在时效内提出）；
- 如有疑问，可进一步向我咨询具体操作流程或地方政策差异。