结论前置：公司不给员工提供解除劳动合同证明书是违法的，员工有权通过多种法律途径要求公司出具，并可就因此造成的损失向公司索赔。
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定：“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。”这一条款明确规定了公司在解除劳动合同时的法定义务，即必须为员工出具解除劳动合同的证明书。
同时，《中华人民共和国劳动合同法》第八十九条也规定：“用人单位违反本法规定未向劳动者出具解除或者终止劳动合同的书面证明，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。”这一条款进一步明确了公司未出具证明书的法律责任。
二、法律建议与维权途径
与公司协商：
- 首先，员工应尝试与公司的人力资源部门或直接上级进行友好沟通，明确指出公司有义务在解除劳动合同时出具证明书，并强调该证明书对员工办理失业登记、领取失业金、入职新单位等方面的重要性。
- 若直接沟通无果，员工可以向公司的工会反映情况，请求工会协助调解。
向劳动监察部门投诉：
- 若协商不成，员工可以向公司所在地的劳动监察大队进行投诉。投诉时，需准备好劳动合同、离职申请、与公司沟通的记录等相关证据材料。
- 劳动监察部门会对投诉事项进行立案调查，并要求公司提供解释和材料。如认定公司存在违法行为，会依法责令公司限期开具证明，并可对公司处以罚款等行政处罚。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门的处理未能解决问题，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。需要提交书面的仲裁申请书，详细说明仲裁请求、事实和理由，并附上相关证据。
- 仲裁委员会在受理申请后，会安排开庭审理。如支持员工的请求，会裁决公司开具证明，并可能要求公司支付因未开具证明给员工造成的损失，例如因缺少该证明导致无法顺利入职新单位而产生的经济损失。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不满意，员工可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需遵循民事诉讼的程序，提交起诉状、证据材料等，并按照法院的安排参加庭审。
- 法院会根据双方提供的证据和法律规定进行判决。如法院判决公司开具证明而公司拒绝执行，员工可向法院申请强制执行，法院可采取一系列强制措施迫使公司履行义务。
三、注意事项
- 保留证据：在整个维权过程中，员工应妥善保留好与公司的所有相关沟通记录、工作凭证等资料，这些将在后续维权中发挥重要作用。
- 时效问题：员工务必在规定的时效内进行维权操作，避免因时间过长而影响权益的保障。
- 理性维权：员工应通过合法途径理性维权，避免采取过激行为，以免给自己带来不必要的麻烦。
四、可能法律后果
如果公司拒绝出具解除劳动合同证明书，且员工通过合法途径维权成功，公司可能会面临以下法律后果：
- 被劳动行政部门责令改正，并可能处以罚款等行政处罚。
- 如果因未出具证明书给员工造成损失，公司需要承担赔偿责任。
综上所述，公司不给员工提供解除劳动合同证明书是违法的，员工有权通过协商、投诉、劳动仲裁和诉讼等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。