结论：在父亲去世没有立遗嘱且母亲健在的情况下，房屋可以转给母亲，但需要遵循法定继承的程序进行办理。

法律背景与解释：

1. 法定继承原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当被继承人（即去世的父亲）未留下遗嘱时，其遗产应按照法定继承的方式进行处理。
   • 法定继承中，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。在您的情况下，母亲作为配偶，是第一顺序继承人之一。

2. 房屋转移给母亲的方式：

   • 由于房屋属于父亲的遗产，且未留下遗嘱，因此需要先通过法定继承程序确定房屋的归属。
   • 在法定继承中，如果所有第一顺序继承人都同意将房屋转移给母亲，那么可以通过办理继承权公证和房屋过户手续来实现。
   • 继承权公证是确认继承人身份和继承权的重要步骤，需要所有第一顺序继承人共同到场或提供有效证明文件。
   • 房屋过户手续则是将房屋所有权从父亲名下转移至母亲名下的法律程序，需要提交相关证明文件并缴纳相关税费。

3. 可能涉及的法律后果与注意事项：

   • 如果存在其他第一顺序继承人（如子女、父母等），且他们不同意将房屋转移给母亲，那么可能需要通过协商、调解或诉讼等方式解决争议。
   • 在办理继承权公证和房屋过户手续时，需要确保所有证明文件的真实性和有效性，以避免因文件问题导致的法律纠纷。
   • 如果房屋存在贷款或其他债务，需要在继承过程中一并处理，以确保房屋的合法转移和后续使用。

建议与行动步骤：

1. 与家庭成员沟通：

   • 首先，与所有第一顺序继承人（包括母亲、其他子女、父母等）进行沟通，了解他们的意愿和意见。
   • 如果大家都同意将房屋转移给母亲，那么可以进一步办理相关手续。

2. 办理继承权公证：

   • 联系当地的公证处，了解办理继承权公证的具体要求和流程。
   • 准备相关证明文件，如父亲的死亡证明、亲属关系证明、房屋产权证明等。
   • 所有第一顺序继承人需要共同到场或提供有效证明文件，以完成继承权公证的办理。

3. 办理房屋过户手续：

   • 在继承权公证办理完成后，联系当地的房地产管理部门或不动产登记中心，了解办理房屋过户手续的具体要求和流程。
   • 提交相关证明文件和继承权公证书，缴纳相关税费，完成房屋过户手续的办理。

4. 处理房屋贷款或其他债务：

   • 如果房屋存在贷款或其他债务，需要在继承过程中与债权人进行沟通，了解债务的处理方式。
   • 确保在房屋过户前或过户后及时处理债务问题，以避免因债务问题导致的法律纠纷。

如果您在办理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。