结论：员工一个月离职但没签合同，用人单位可能面临支付双倍工资、经济补偿等法律责任，同时员工也有权要求用人单位支付未签合同期间的工资。以下是对此问题的详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
双倍工资支付：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果员工在一个月内离职且未签合同，用人单位理论上需要支付该员工一个月的双倍工资（但实际操作中，由于员工仅工作一个月，可能仅涉及部分月份的双倍工资差额，具体需根据实际情况判断）。不过，更常见的情况是，若员工继续工作超过一个月，则从第二个月起开始计算双倍工资。
经济补偿：
- 如果员工因用人单位未签劳动合同而提出离职，且符合《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条规定的情形（如未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等），员工有权要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的标准根据员工在用人单位的工作年限和月工资水平确定。
二、员工的权利与义务
要求支付工资：
- 员工有权要求用人单位支付其工作期间的工资，无论是否签订劳动合同。用人单位不得以未签合同为由拒绝支付工资。
主张双倍工资：
- 如前所述，员工有权根据法律规定主张双倍工资。但需要注意的是，主张双倍工资的时效期间为一年，自员工知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
离职手续：
- 员工在离职时，应按照用人单位的规定办理离职手续，包括交接工作、归还公司财物等。同时，员工也有权要求用人单位出具离职证明，以便后续就业。
三、用人单位的应对措施
及时补签合同：
- 用人单位在发现未与员工签订劳动合同时，应尽快与员工补签合同，以避免法律风险的进一步扩大。
支付应付款项：
- 用人单位应按照法律规定支付员工应得的工资、双倍工资差额（如适用）以及经济补偿（如适用）。
完善用工管理：
- 用人单位应加强用工管理，确保与所有员工签订书面劳动合同，并妥善保管合同文本。同时，用人单位还应建立健全的用工制度，明确员工的权利和义务，以减少劳动纠纷的发生。
四、实际操作建议
- 对于员工：如果发现自己未与用人单位签订劳动合同且即将离职，建议先与用人单位协商解决工资和双倍工资等问题。如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
- 对于用人单位：建议立即与员工补签劳动合同，并支付应付款项。同时，加强用工管理，避免类似情况再次发生。如果面临劳动仲裁或诉讼，应积极应对，提供相关证据证明自己的合法权益。
最后，劳动纠纷的处理需要依据具体的法律法规和实际情况进行。如果你或你所在的企业面临类似问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。