针对您提出的问题，若邻居养鸡产生臭味且多次协商无果后，您选择用老鼠药毒死鸡，您可能需要承担以下法律责任：
民事责任：
- 侵权责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，您因故意行为导致邻居的财产（鸡）受损，构成侵权。邻居有权要求您赔偿其因此遭受的损失，包括鸡的价值以及可能因鸡死亡而产生的其他直接经济损失。
- 赔偿范围：赔偿金额通常根据鸡的实际价值、市场价格以及邻居因此遭受的其他合理损失来确定。如果邻居能够提供充分的证据证明其损失，您可能需要按照这些证据来承担赔偿责任。
行政责任：
- 治安管理处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，故意损毁公私财物的行为可能受到行政处罚，如罚款、拘留等。虽然您的行为是针对邻居的鸡，但鸡作为邻居的财产，同样受到法律保护。因此，您可能因故意损毁财物而面临治安管理处罚。
刑事责任（在特定情况下）：
- 故意毁坏财物罪：如果您的行为导致邻居的财产损失达到一定数额（通常根据当地的经济水平和司法实践来确定），或者您多次实施此类行为，情节严重，可能构成故意毁坏财物罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
法律建议：
- 协商解决：在采取任何极端措施之前，我建议您再次尝试与邻居进行协商，寻求和平解决的方式。您可以提出具体的改善建议，如要求邻居加强鸡舍的卫生管理、采取防臭措施等。
- 寻求第三方调解：如果协商无果，您可以考虑寻求社区、居委会或相关部门的调解帮助。这些机构通常具有中立性和权威性，能够更有效地促进双方达成和解。
- 法律途径：如果调解也无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。例如，您可以向法院提起相邻权纠纷诉讼，要求邻居停止侵害、排除妨碍或赔偿损失。
后续行动建议：
- 保留证据：无论您选择哪种解决方式，都请务必保留好相关证据，如协商记录、调解协议、损失证明等。这些证据将在后续的法律程序中发挥重要作用。
- 咨询专业律师：如果您对法律程序或赔偿标准等方面存在疑问，我建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议。作为专业律师，我能够为您提供全面的法律咨询和代理服务，帮助您更好地维护自己的权益。
总之，用老鼠药毒死邻居的鸡并不是解决问题的合适方式。它不仅可能让您承担法律责任，还可能加剧邻里之间的矛盾。我建议您采取更和平、理性的方式来解决这个问题。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。