结论：八十八岁老人一直跟着小儿子生活，其他子女一直没有付赡养费，老人是可以申诉追要的。以下从法律角度为您详细分析：
一、法律背景与依据
根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，子女对父母有赡养扶助的义务。这一义务是法定的，不因任何原因而免除。当子女不履行赡养义务时，无劳动能力或生活困难的父母，有要求子女付给赡养费的权利。
二、具体法律分析
赡养义务的法定性：
- 赡养父母是子女的法定义务，这一义务不因父母的经济状况、居住情况或其他任何因素而改变。
- 无论老人是否与某个子女共同生活，其他子女都应承担赡养义务，包括提供必要的生活费用、医疗费用等。
申诉追要赡养费的可行性：
- 如果其他子女一直未履行赡养义务，老人有权向法院提起诉讼，要求子女支付赡养费。
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑老人的实际生活需要、子女的经济能力以及当地的生活水平等因素，来确定赡养费的数额和支付方式。
实际操作中的注意事项：
- 老人或其代理人（如小儿子）在提起诉讼前，应收集相关证据，如子女的身份信息、未支付赡养费的证据（如银行转账记录、证人证言等）、老人的生活状况证明等。
- 在诉讼过程中，老人应如实陈述事实，提供充分的证据支持自己的主张。
- 如果老人因身体原因或其他原因无法亲自出庭，可以委托律师或近亲属代为出庭。
三、可能的法律后果
如果法院判决子女支付赡养费：
- 子女应按照判决确定的数额和支付方式，按时支付赡养费。
- 如果子女拒不履行判决，老人可以申请法院强制执行，法院可以采取查封、扣押、拍卖等措施，强制子女履行赡养义务。
如果子女经济困难或无力支付：
- 法院在审理时，会考虑子女的实际经济状况，可能酌情减少赡养费的数额或调整支付方式。
- 但这并不意味着子女可以完全免除赡养义务，子女仍应尽力履行自己的责任。
四、建议与行动
与子女协商：
- 在提起诉讼前，老人可以尝试与子女进行协商，寻求和解的可能性。
- 协商过程中，可以明确表达自己的需求和期望，以及子女应承担的责任和义务。
寻求法律援助：
- 如果老人对法律程序不熟悉或无法自行处理诉讼事宜，可以寻求法律援助或委托律师代为处理。
- 律师可以提供专业的法律建议和指导，帮助老人更好地维护自己的合法权益。
作为周长平律师，我建议您在处理此类问题时，务必保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。