遇到没有拴狗链的狗被汽车撞了且车主逃逸的情况，确实会让人感到焦急和无助。不过，别担心，我会一步步指导您如何处理这个问题，以维护您的合法权益并尽可能追回应有的赔偿。

首先，确保狗的安全与救治是首要任务：

• 迅速查看狗的受伤状况，如果伤势严重，应立即送往附近的宠物医院进行救治。
• 在救治过程中，务必保留好诊断证明、病历以及费用清单等资料，这些将是后续索赔的重要依据。

接下来，立即报警并告知相关情况：

• 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的规定，发生交通事故后，车辆驾驶人应立即停车保护现场。车主逃逸是违法行为，您应立即拨打122报警电话，向交警部门详细报案。
• 在报案时，提供事故发生的时间、地点、大致经过等信息，以便交警部门能够迅速展开调查。

同时，积极收集证据以协助警方查找肇事车主：

• 现场证据：使用手机拍照或录像记录事故现场，包括狗的位置、车辆碰撞痕迹、刹车痕迹以及道路状况等。
• 周边监控：查看事故现场附近是否有监控摄像头，及时与相关管理部门或店铺沟通，获取监控视频资料，这有助于警方追踪肇事车辆。
• 目击证人：询问周围的路人、商家等是否目睹了事故的全过程，获取他们的联系方式，以便后续调查时能够联系到他们。

在寻找肇事车主的同时，也别忘了寻找狗的主人：

• 如果狗身上有狗牌、项圈等表明身份的标识，尝试通过这些信息联系狗的主人。
• 如果没有明显的身份标识，可以将狗的照片和特征发布到当地的宠物群、社区论坛、社交媒体等平台，扩大寻找范围。
• 如果无法找到狗的主人，可以联系当地的动物保护组织或相关管理部门，寻求他们的帮助和妥善处理。

关于后续索赔问题：

• 如果找到肇事车主：根据交警部门的事故责任认定，您可以要求车主赔偿狗的治疗费用、购买费用（如果狗因伤死亡）等合理损失。如果双方无法协商一致，可以通过交警调解或向法院提起民事诉讼来解决。
• 如果未找到肇事车主：如果您已经为狗购买了宠物保险，可以根据保险合同向保险公司申请理赔。但请注意保险条款中可能存在的免赔率。如果没有购买保险，那么损失可能就需要您自行承担了。

最后，了解法律后果并咨询专业律师：

• 肇事逃逸行为根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，公安机关交通管理部门可以处以二百元以上二千元以下的罚款，并可能并处十五日以下的拘留。
• 在处理此类事故时，务必保留好所有相关证据，并在必要时咨询专业律师以获取法律建议和帮助，确保您的合法权益得到充分维护。

希望这些建议能够帮助您妥善处理这个问题。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，随时都可以向我咨询。