结论：行政拘留案件中，如果有一人逃跑，执法机关会立即采取追捕措施，确保行政处罚得到执行，且逃跑者可能面临更严重的法律后果。以下是对此问题的详细分析：
一、执法机关的应对措施
立即追捕：
- 拘留所等执法机关一旦发现被拘留人逃跑，会立即启动追捕程序，调配警力进行追踪定位。
- 执法机关会利用监控视频、追踪设备等技术手段，以及可能的线索，全力追捕逃跑者。
发布通缉令：
- 如果逃跑人员一直未被抓获，执法机关将通过发布通缉令等方式，向社会公众征集线索，广泛发动群众提供协助。
跨部门协作与异地执行：
- 执法机关会及时通知公安机关等相关部门，请求协助追捕，并在车站、机场、码头等交通枢纽设置卡点进行检查。
- 对于异地抓获或在异地有必要执行的情形，经异地拘留所主管公安机关批准后，可以在异地执行行政拘留。
二、逃跑者的法律后果
继续执行原处罚：
- 一旦逃跑者被抓获，公安机关会及时将其带回，继续执行原定的行政拘留处罚。
可能加重处罚：
- 逃跑行为本身违反拘留决定，可能会面临加重处罚，如延长拘留期限或处以罚款等。这是因为逃跑行为被视为对抗法律权威和不配合执法的表现。
涉嫌犯罪的处理：
- 如果逃跑行为情节严重，如使用暴力手段抗拒执法人员追捕，或者逃跑后继续实施其他违法犯罪行为，可能构成脱逃罪或其他相关犯罪，将面临刑事责任的追究。
个人信用记录受损：
- 逃跑行为将在公安机关留下记录，严重影响个人信用。这将对逃跑者未来的生活和职业发展产生不利影响，特别是在需要进行背景审查的场合。
三、合法途径与建议
合法申诉：
- 如果行为人对行政拘留处罚有异议，应通过合法途径进行申诉，如向上一级行政部门申请行政复议或向法院提起行政诉讼。
暂缓执行申请：
- 在申诉期间，行为人有权向公安机关提出暂缓执行行政拘留的申请，但需提供符合条件的担保人或交纳保证金。然而，这并不意味着可以逃避处罚，一旦申诉被驳回或暂缓执行的条件不再满足，行政拘留仍将被执行。
积极配合执法：
- 面对行政拘留处罚，行为人应保持冷静和理智，积极配合行政机关的工作。逃跑不仅不能解决问题，反而会使情况变得更加复杂和严重。
总结与建议：行政拘留逃跑是极其不明智且违法的选择。它不仅不能逃避法律制裁，反而可能让行为人陷入更加严峻的法律困境和经济损失。因此，我建议行为人在面对行政拘留处罚时，应通过合法途径维护自己的权益，并积极配合行政机关的工作。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议和帮助。