核心结论：针对劳务工合同第一份未到期而第二份到期不签的情况，需根据具体情形判断处理方式，主要分为以下两种情况：
- 若第二份合同到期后双方未续签，但劳务工继续提供劳务且用人单位未提出异议
根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》第三十四条，劳动合同期满后，劳动者仍在原用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，虽然未签订书面合同，但双方仍存在事实劳动关系，用人单位需承担劳动法规定的义务（如支付工资、缴纳社保等）。
建议：
- 用人单位应尽快与劳务工补签书面合同，明确权利义务，避免因未签合同引发双倍工资赔偿风险（《劳动合同法》第八十二条）。
- 劳务工可主动要求签订书面合同，若用人单位拒绝，可收集工作证明（如工资流水、考勤记录、工作证等）作为事实劳动关系的证据，后续通过劳动仲裁或诉讼维护权益。
- 若第二份合同到期后，用人单位明确表示不续签或劳务工不同意以原条件续签
根据《劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动合同终止。此时需区分终止原因：
- 用人单位不续签：需向劳务工支付经济补偿金，标准为按工作年限计算，每满一年支付一个月工资（《劳动合同法》第四十六条、第四十七条）。
- 劳务工不同意续签：若用人单位维持或提高原劳动合同条件，劳务工仍拒绝续签的，用人单位无需支付经济补偿；若用人单位降低条件导致劳务工不续签的，仍需支付经济补偿。
建议：
- 用人单位应书面通知劳务工合同终止事宜，并留存送达证据（如EMS回执、签字确认单等），避免因程序瑕疵被认定为违法终止。
- 劳务工若认为用人单位未依法支付补偿或存在违法终止情形，可申请劳动仲裁，要求支付赔偿金（违法终止时为经济补偿标准的二倍）。
特殊情形补充：
若第一份合同与第二份合同存在衔接问题（如第一份合同期限覆盖第二份合同到期日），需结合合同具体条款判断是否构成合同变更或续订。若存在争议，建议通过合同解释规则（如目的解释、整体解释）或双方协商明确权利义务。
行动建议：
无论您是用人单位还是劳务工，均建议根据上述情形核对具体事实，必要时委托律师审核合同文本或代理争议解决，以确保权益最大化。如有进一步疑问，可直接向我咨询。