结论：在医院公共卫生岗位打工10年被辞退，您有权依法维护自己的合法权益，具体可从确认劳动关系、了解辞退原因、主张经济补偿或赔偿、申请劳动仲裁等角度进行维权。

1. 确认劳动关系

首先，您需要确认自己与医院之间是否存在劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。如果您在医院工作了10年，且医院一直未与您签订书面劳动合同，但您实际上一直在为医院提供劳动，并接受医院的管理，那么您与医院之间很可能已经形成了事实劳动关系。

2. 了解辞退原因

接下来，您需要了解医院辞退您的具体原因。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位辞退劳动者必须符合法定情形，如劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等。如果医院无法提供合法有效的辞退理由，那么其辞退行为可能构成违法解除劳动合同。

3. 主张经济补偿或赔偿

• 经济补偿：如果医院辞退您符合法定情形，但您在医院工作已满10年，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条的规定，医院应当向您支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

• 赔偿：如果医院辞退您不符合法定情形，构成违法解除劳动合同，那么您有权要求医院支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：经济补偿标准的二倍。

4. 申请劳动仲裁

如果您与医院就辞退事宜无法达成一致，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要提交以下材料：

• 劳动仲裁申请书：详细陈述您的仲裁请求、事实和理由。
• 身份证明：如身份证复印件等。
• 劳动关系证明：如工作证、工资条、考勤记录等能够证明您与医院之间存在劳动关系的材料。
• 其他证据：如医院辞退您的通知、与医院协商的记录等能够支持您仲裁请求的材料。

5. 注意事项

• 时效性：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您需要在知道或应当知道被辞退之日起一年内申请劳动仲裁。
• 证据收集：在维权过程中，证据的收集至关重要。您需要尽可能收集能够证明您与医院之间存在劳动关系、医院辞退您不符合法定情形等证据材料。
• 法律咨询：如果您在维权过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。

最后，维权是一个复杂且需要耐心的过程。希望您能够保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。