结论前置：公司要求员工签订劳动合同而员工不签，辞退时是否需要补偿，主要取决于未签合同的责任归属以及员工在公司的工作时长。若公司在规定时间内提出签合同而员工拒绝，则辞退时通常无需补偿；若因公司原因未及时签合同，或员工入职超过一定期限后公司才提出签合同但遭拒绝，则辞退时可能需要支付经济补偿或双倍工资。
详细分析：
员工入职后一个月内不签合同，公司辞退无需补偿
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及其实施条例的规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，且应在用工之日起一个月内完成。若公司在此期间已书面通知员工签订劳动合同，但员工拒绝，则公司有权终止劳动关系，且无需支付经济补偿。此时，公司仅需支付员工实际工作时间的劳动报酬。
- 举例：员工A入职公司后，公司在一周内即向其发出签订劳动合同的通知，但A以各种理由拒绝签订。一个月后，公司决定终止与A的劳动关系，此时公司无需向A支付经济补偿，只需支付其实际工作期间的工资。
员工入职超过一个月不满一年不签合同，公司辞退可能需补偿
- 若公司自用工之日起超过一个月但不满一年未与员工订立书面劳动合同，且此后才书面通知员工签订而员工仍拒绝，那么公司在辞退员工时，除了需支付实际工作时间的劳动报酬外，还需承担以下责任：
- 从用工满一个月的次日起到解除劳动关系时止，向员工支付每月两倍的工资作为惩罚性赔偿（即双倍工资）。
- 若公司以此为由辞退员工，且员工无重大过错，公司可能还需按照员工在本单位工作的年限，支付相应的经济补偿。具体为：每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 举例：员工B入职公司三个月后，公司才向其发出签订劳动合同的通知，但B拒绝签订。随后，公司决定辞退B，此时公司除了需支付B实际工作期间的工资外，还需支付B两个月的双倍工资作为惩罚性赔偿，并可能需支付半个月工资作为经济补偿。
员工入职满一年不签合同，视为已订立无固定期限劳动合同，公司辞退需补偿
- 若公司自用工之日起满一年仍未与员工订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。在此情况下，若公司辞退员工，可能构成违法解除劳动合同，需按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定，支付二倍的经济补偿金作为赔偿金。
- 举例：员工C入职公司一年后，公司仍未与其签订书面劳动合同。此时，若公司决定辞退C，则构成违法解除劳动合同，需向C支付二倍的经济补偿金作为赔偿金。
特殊情况说明
- 若因公司原因（如待遇未谈拢、合同条款不合理等）导致合同未能及时签订，即使员工后来拒绝签订合同，公司在辞退时也需考虑支付经济补偿的可能性。这是因为公司首先违反了及时签订劳动合同的法定义务。
- 举例：公司向员工D提供的劳动合同中存在不合理的条款，D因此拒绝签订。随后，公司决定辞退D，此时公司需考虑支付D经济补偿的可能性，因为公司未能提供合理的合同条款导致合同未能及时签订。
总结与建议：
在处理员工不签合同被辞退的纠纷时，公司应首先明确自身是否履行了及时签订劳动合同的法定义务。若确因员工拒绝而导致合同未签订，公司应保留好相关证据（如书面通知记录、员工回复等），以便在必要时证明自身的合法性。同时，对于不同工作时长下的员工，公司应严格按照法律规定处理辞退事宜，避免不必要的法律风险和经济损失。若遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。