结论：工作半年生病被辞退且未签合同的情况下，你可能有权要求用人单位支付双倍工资作为未签订合同的赔偿，并可能获得因违法解除劳动关系的赔偿金。具体赔偿数额和方式需根据实际情况确定，下面为你详细分析：

一、未签订书面劳动合同的双倍工资赔偿

根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条及第八十二条的规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同，且用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

• 计算公式：每月应得工资×未签合同月数（从第二个月开始计算）
• 具体数额：在你工作半年未签合同的情况下，从第二个月开始到第六个月（共五个月），用人单位需要向你支付双倍工资。假设你每月工资为X元，则双倍工资赔偿为\(X元/月×5月=5X元\)。

二、违法解除劳动关系的赔偿

1. 合法解除的情形：

   • 如果用人单位因你生病且在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，而依据《劳动合同法》第四十条的规定解除劳动合同，那么用人单位需要提前三十日以书面形式通知你本人或者额外支付你一个月工资，并按照《劳动合同法》第四十七条的规定支付经济补偿。由于你工作了半年，所以应支付半个月工资的经济补偿，但因提前通知或额外支付一个月工资已作为替代，故不再重复计算。不过，在此情形下，由于你未签合同，用人单位仍需承担未签合同的双倍工资赔偿责任。

2. 违法解除的情形：

   • 如果用人单位没有正当合法理由单方辞退你，比如在你医疗期内或者医疗期满后，未按照法定程序进行解除，那么属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条的规定，用人单位应依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 计算公式：赔偿金=经济补偿标准×2
   • 经济补偿标准：由于你工作了半年，经济补偿标准为半个月工资。假设你每月工资为X元，则经济补偿为\(0.5X元\)，赔偿金为\(0.5X元×2=X元\)。

3. 特殊情况的免责：

   • 如果用人单位能够证明你存在严重违反公司规章制度、严重失职等行为，或者双方协商一致解除劳动合同，并且用人单位已经提前三十日以书面形式通知你或者额外支付你一个月工资后解除劳动合同，那么用人单位可能不需要支付经济补偿金或赔偿金。但在此情况下，用人单位仍需承担未签合同的双倍工资赔偿责任（除非能证明未签合同的责任在于你）。

三、维权途径与建议

• 协商：首先尝试与用人单位协商赔偿事宜，这是解决纠纷最快捷的方式。在协商过程中，你可以明确提出自己的赔偿要求，并引用相关法律法规作为依据。
• 证据收集：在协商不成的情况下，及时收集相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、医疗证明等，以备后续维权使用。这些证据将有助于证明你与用人单位之间的劳动关系以及用人单位的违法行为。
• 申请仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，这是处理劳动争议的法定程序。在申请仲裁时，你需要提交仲裁申请书以及相关证据材料。仲裁委员会将依法进行审理并作出裁决。
• 提起诉讼：对仲裁结果不服的，你可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。在诉讼过程中，你需要提交起诉状以及相关证据材料，并按照法院的审理程序进行应诉。

最后建议：在整个维权过程中，建议你保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果你对法律程序或赔偿计算等方面存在疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的解答和帮助。