在劳务派遣关系中，员工因病死亡后，其遗属的抚恤金支付条件及相关待遇是一个涉及多个方面的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：
一、抚恤金支付的基本条件
工伤保险覆盖情况：
- 若劳务派遣员工已参加工伤保险，并在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，或在48小时内经抢救无效死亡，这种情况将视同工伤。此时，抚恤金（包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金）主要由工伤保险基金支付。
- 若劳务派遣单位未为员工缴纳工伤保险费，则所有应由工伤保险基金支付的费用，包括抚恤金，均由劳务派遣单位承担。
非工伤保险覆盖或非工作时间岗位死亡：
- 若员工未参加工伤保险，或虽参加但死亡情况不符合工伤认定标准（如非工作时间、非工作岗位因病死亡），则抚恤金的支付需依据当地政策、用工单位和派遣单位之间的协议以及相关法律法规来确定。
二、抚恤金的具体项目及标准
丧葬补助金：
- 标准：通常为当地上年度职工月平均工资的一定倍数，如6个月，但具体标准可能因地区而异。例如，某些地区可能规定为固定金额，如山东省为1000元，北京市为5000元。
- 性质：用于补助因丧葬事宜而产生的费用支出。
供养亲属抚恤金：
- 对象：由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。
- 标准：按照职工本人工资的一定比例发给，配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 说明：若被确认为因工死亡的劳务派遣工没有需要供养的直系亲属，则不发放此项待遇。对于非工伤死亡的情况，供养亲属抚恤金的支付需依据当地政策执行。
一次性工亡补助金（仅适用于工伤死亡）：
- 标准：为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。这一标准全国统一，旨在保障工亡职工遗属的基本生活需求。
- 计算示例：以某年度为例，若全国城镇居民人均可支配收入为X元，则一次性工亡补助金标准为X元×20。
三、其他可能的待遇
医疗保险个人账户余额：
- 如果劳务派遣工参加了医疗保险且个人账户有余额，该余额可以由其遗属继承使用。
企业补充保险或福利计划：
- 部分用工单位可能为劳务派遣工购买了额外的商业保险或提供了其他福利计划，这些也可能在员工去世后为其遗属提供一定的经济支持。
四、处理建议与注意事项
及时沟通：
- 家属应及时与劳务派遣单位和用工单位取得联系，了解他们的态度和意见，并协商赔偿事宜。
法律咨询：
- 在处理此类问题时，建议咨询专业的律师或法律机构，以便更好地了解自己的权益和可能的赔偿途径。
证据准备：
- 如果需要提起诉讼来维护自己的权益，一定要准备好充分的证据材料，包括劳动合同、医疗记录、死亡证明等。
关注当地政策：
- 由于抚恤金的支付标准和项目可能因地区而异，家属应密切关注当地的相关政策规定，以确保自己的权益得到妥善处理。
综上所述，劳务派遣员工因病死亡后，其遗属的抚恤金支付条件及相关待遇需根据工伤保险覆盖情况、死亡是否符合工伤认定标准以及当地政策等多方面因素来确定。家属应及时与相关方沟通并寻求法律援助，以确保自己的合法权益得到妥善处理。