关于三甲医院在招聘时签订合同后，第三年一直不签合同的问题，这可能涉及多个方面的法律考量，以下是我的详细分析：
合同期限与续签问题：
- 首先，需要明确的是，劳动合同的期限和续签应当遵循《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据该法，劳动合同分为固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同和以完成一定工作任务为期限的劳动合同。
- 如果最初签订的是固定期限劳动合同，且合同期限已满，那么医院应当与员工协商续签劳动合同。如果医院未提出续签，而员工继续在医院工作，根据法律规定，这可能被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，但为了保障双方权益，最好还是签订书面合同。
- 如果医院无正当理由拒绝续签，员工有权要求医院支付经济补偿金，具体数额根据员工在医院的工作年限和工资水平确定。
无固定期限劳动合同的签订条件：
- 根据《劳动合同法》的规定，如果员工在医院连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且员工没有严重违反医院规章制度等情形，员工提出或者同意续订、订立劳动合同的，除员工提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 如果员工符合签订无固定期限劳动合同的条件，而医院未提出签订，员工可以要求医院签订，并有权要求医院支付因未签订无固定期限劳动合同而应支付的二倍工资差额（但需注意，这一请求通常受到诉讼时效的限制）。
医院不签合同的可能原因及应对策略：
- 医院可能由于管理疏忽、对法律条款理解不足或故意拖延等原因未与员工续签合同。
- 员工可以首先与医院的人力资源部门或相关负责人进行沟通，了解未续签合同的具体原因，并表达续签合同的意愿。
- 如果沟通无果，员工可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求医院续签合同或支付相应的经济补偿。
法律后果与风险提示：
- 如果医院长期不与员工签订劳动合同，员工有权要求医院支付未签订劳动合同期间的双倍工资（但同样受到诉讼时效的限制）。
- 此外，医院还可能面临劳动行政部门的处罚，如罚款等。
- 对于员工而言，长期不签订劳动合同也可能影响其权益的保障，如社保缴纳、工伤认定等。
建议：
- 员工应保留好与医院签订的原始劳动合同、工作证明、工资单等相关证据，以备不时之需。
- 及时与医院沟通，了解未续签合同的原因，并表达续签的意愿。
- 如果沟通无果，可以考虑寻求法律援助或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
最后，每个具体案件都有其独特性，上述分析仅为一般性建议。如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律意见。