事业单位行政职责违法，可通过内部监督、行政复议、行政诉讼及国家赔偿等途径进行纠正。具体分析如下：

1. 内部监督与纠正

   • 内部审查机制：事业单位应建立内部审查机制，对行政行为的合法性进行定期或不定期的审查。一旦发现违法行政行为，应立即启动内部纠正程序，包括撤销、变更或补正违法行政行为，并追究相关责任人员的责任。
   • 上级监督：事业单位的上级主管部门或相关监管机构应对其行政行为进行监督，发现违法行为时，应责令其改正，并视情节轻重给予相应的行政处分或处罚。

2. 行政复议

   • 申请复议：如果事业单位的行政行为侵犯了公民、法人或其他组织的合法权益，相关方可以在法定期限内向有管辖权的行政复议机关申请行政复议。
   • 复议决定：行政复议机关将对复议申请进行审查，并作出复议决定。如果复议决定认为原行政行为违法，将撤销、变更或确认原行政行为违法，并责令事业单位重新作出行政行为或承担相应的法律责任。

3. 行政诉讼

   • 提起诉讼：如果公民、法人或其他组织认为事业单位的行政行为侵犯了其合法权益，且对行政复议决定不服或未选择行政复议途径，可以在法定期限内向人民法院提起行政诉讼。
   • 司法审查：人民法院将对行政行为的合法性进行司法审查，并作出判决。如果判决认为行政行为违法，将撤销、变更或确认行政行为违法，并可能判决事业单位承担赔偿责任。

4. 国家赔偿

   • 赔偿请求：如果事业单位的行政行为违法且给公民、法人或其他组织造成了损害，相关方可以在法定期限内向事业单位提出国家赔偿请求。
   • 赔偿决定与执行：事业单位在收到赔偿请求后，应依法作出赔偿决定。如果事业单位拒绝赔偿或赔偿请求人对赔偿决定不服，相关方可以向人民法院提起国家赔偿诉讼，由人民法院作出赔偿判决并执行。