结论：劳动合同到期不续签但劳动者仍在继续工作的，劳动关系仍然存续，双方形成事实劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、事实劳动关系的认定
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条及其实施条例的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。当原劳动合同到期，劳动者继续在原岗位工作，且用人单位未表示异议并继续安排工作任务及支付劳动报酬时，视为双方以原劳动合同约定的条件为基础，继续履行劳动关系，即形成事实劳动关系。
实际案例：例如，小李与公司签订的劳动合同于2024年6月30日到期，之后小李继续在公司工作，公司也未提出异议并继续支付工资。此情况下，小李与公司之间形成了事实劳动关系，直至新的书面劳动合同签订或劳动关系终止。
二、用人单位的法律义务
及时续签劳动合同：用人单位有责任在原合同到期后的合理时间内，与劳动者续签书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。若未及时续签，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位需向劳动者每月支付二倍的工资，直至补订书面劳动合同。
经济补偿（特定情形）：如果用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的，依照《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项规定（即劳动合同期满），用人单位应当向劳动者支付经济补偿。此外，如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，根据法律规定，视为用人单位已与劳动者订立了无固定期限劳动合同，此时用人单位应立即与劳动者补订无固定期限劳动合同。
三、劳动者的权益保护与主张
要求签订书面合同的权利：劳动者有权要求用人单位与其签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。如果用人单位拒绝签订，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
主张双倍工资差额的权利：如前所述，如果用人单位未依法签订书面合同，劳动者有权主张双倍工资差额。这一权利的行使通常受到一定时效限制（如从应签订合同之日起计算一年内），因此劳动者应及时维护自己的权益。
解除劳动关系并主张经济补偿的权利：如果用人单位存在违法用工行为（如长期不签订劳动合同），劳动者有权选择解除劳动关系，并要求用人单位支付相应的经济补偿。
四、实际操作建议
及时沟通：劳动者应与用人单位就劳动合同续签事宜进行积极沟通，了解未续签的原因，并催促尽快办理相关手续。
保留证据：劳动者应妥善保存与工作相关的证据（如考勤记录、工资条、工作邮件等），以备不时之需。这些证据在维权过程中将起到关键作用。
寻求法律援助：如果与用人单位协商无果，劳动者可以向我咨询，通过法律途径维护自己的合法权益。作为专业律师，我将为你提供全面的法律支持和建议。
总结：劳动合同到期不续签但劳动者仍在继续工作的，劳动关系仍然存续。双方应尽快签订书面劳动合同以明确权利义务，避免法律风险。如果用人单位存在违法行为，劳动者有权通过法律途径维护自己的权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。