员工吃饭下班时摔伤的责任归属，主要取决于摔伤的原因、时间、地点以及与工作是否相关，可能的情况包括单位承担责任、员工自身承担责任以及双方分担责任。以下是对各种情况的详细分析：
单位承担责任的情况：
- 设施问题导致的摔伤：如果摔伤是由于单位食堂的设施问题导致的，如地面湿滑、积水、油渍，或楼梯扶手损坏、照明不足等，单位通常需要承担一定责任。因为单位对其管理的食堂负有保障员工基本安全的义务，需提供安全的工作和生活环境。这种情况下，员工可以依据《民法典》中关于公共场所经营者、管理者安全保障义务的规定，向单位主张侵权责任。
- 工作原因导致的摔伤：如果员工在工作时间前往食堂就餐，属于正常工作生理需求的延伸，且在就餐过程中因履行工作职责而摔伤，或摔伤与工作有直接或间接关联（如被食堂内用于工作的设备绊倒），可能被认定为工伤。此时，单位需依据《工伤保险条例》承担相应责任。
员工自身承担责任的情况：
- 如果员工在食堂摔伤完全是由于自身过错造成，如奔跑打闹、违反食堂规定进行危险行为，或未尽到合理的注意义务（如边走路边玩手机），单位不存在过错，则员工需自行承担主要责任。这种情况下，员工的不当行为是导致受伤的直接原因。
双方分担责任的情况：
- 在很多情况下，摔伤可能是由双方过错共同造成的。例如，食堂地面有部分水渍，但员工在行走时也未尽到合理的注意义务，最终导致摔倒受伤。此时，法院可能会根据双方过错程度来划分责任，判定单位和员工各自承担一定比例的损失。
特殊情形分析：
- 下班途中摔伤：如果员工是在下班途中摔伤，且摔伤并非由于工作原因或单位设施问题导致，那么通常不属于工伤范畴。根据《工伤保险条例》的规定，只有在上下班途中受到非本人主要责任的交通事故或特定交通工具事故伤害时，才能认定为工伤。普通摔倒（如路面不平、个人滑倒）通常不符合这一条件。
后续处理建议：
- 如果员工认为自己的摔伤属于工伤，应及时向单位提出工伤认定申请，并保留好相关证据（如医疗诊断书、事故说明、现场照片等）以便维权。
- 如果摔伤是由于食堂经营者或管理者的过失导致的，员工可以依法向其主张侵权责任，要求赔偿医疗费、误工费、护理费等合理费用。
- 在处理此类纠纷时，建议员工详细记录事故经过，并收集相关证据，以便在需要时提供证明。
总结：员工吃饭下班时摔伤的责任归属问题需要根据具体情况和相关法律法规进行综合分析。通过明确责任主体和法律依据，可以更好地保护员工的合法权益，同时促进单位的规范管理和安全保障义务的履行。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。