结论：老板补足了工伤停工留薪期间的工资后，是否需要给员工写合同书，这并非一个法律强制要求，但从保障双方权益和避免潜在纠纷的角度出发，建议老板与员工签订一份书面协议或补充合同。

分析说明：

1. 法律层面：

   • 根据《工伤保险条例》等相关法律法规，员工在工伤停工留薪期间，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。老板补足工资是履行其法定义务的行为，并不直接涉及是否需要签订新的合同书。
   • 然而，法律并未明确规定在此情况下必须签订书面协议。但签订书面协议可以明确双方的权利和义务，包括工资补足的具体金额、支付方式、支付时间等，有助于减少后续可能出现的争议。

2. 实际操作层面：

   • 保障员工权益：对于员工而言，一份书面协议可以作为其获得工伤停工留薪期间工资补足的明确证据，有助于维护其合法权益。
   • 避免老板风险：对于老板而言，书面协议可以明确其已经履行了工资补足的义务，避免员工事后提出额外的要求或争议。
   • 促进和谐劳动关系：签订书面协议还有助于增强双方之间的信任和沟通，促进和谐劳动关系的建立。

建议与操作：

• 建议签订书面协议：尽管法律没有强制要求，但考虑到上述因素，建议老板与员工签订一份书面协议或补充合同，明确工伤停工留薪期间工资补足的相关事宜。
• 协议内容：协议内容应包括但不限于：双方的基本信息、工伤停工留薪的起止时间、工资补足的具体金额、支付方式、支付时间、违约责任等。
• 法律咨询：在签订协议前，建议双方咨询专业律师（即向我咨询），以确保协议内容的合法性和有效性。

后续行动与注意事项：

• 保留证据：无论是否签订书面协议，双方都应保留好与工伤停工留薪期间工资补足相关的证据，如工资条、银行转账记录、书面协议等。
• 及时沟通：在工伤停工留薪期间，双方应保持及时沟通，确保工资补足等事宜的顺利进行。
• 关注法律法规变化：双方应关注相关法律法规的变化，以确保自身权益的得到充分保障。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。