关于行政机关不履行判决申请执行的时效问题，结论前置如下：

1. 申请执行的时效期间：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第九十五条及相关司法解释的规定，公民、法人或者其他组织拒绝履行判决、裁定、调解书的，行政机关或者第三人可以向第一审人民法院申请执行，也可以向第二审人民法院申请执行。申请执行的期限为二年。这一期限从法律文书规定的履行期间最后一日起计算；如果法律文书规定分期履行的，则从规定的每次履行期间的最后一日起计算；若法律文书中没有规定履行期限的，则从该法律文书送达当事人之日起计算。

2. 时效中断与延长：

   • 时效中断：在申请执行时效期间的最后六个月内，如果因不可抗力或者其他障碍不能行使请求权的，申请执行时效中止。从中止时效的原因消除之日起，申请执行时效期间继续计算。此外，如果一方当事人提出履行要求或者同意履行义务，也可能导致时效中断，从中断时起，申请执行时效期间重新计算。
   • 时效延长：在特殊情况下，如因案件复杂、涉及多方利益等，人民法院可以根据当事人的申请，酌情延长申请执行时效期间。但这种情况较为少见，且需要满足一定的条件。

3. 逾期申请的法律后果：如果行政机关超过申请执行时效期间向人民法院申请强制执行，且没有正当理由的，人民法院将不予受理。这意味着，行政机关将失去通过司法途径强制被执行人履行义务的机会，可能导致判决、裁定、调解书无法得到有效执行。

深度分析与建议：

• 法律背景：申请执行时效是保障法律文书得以有效执行的重要制度。它要求权利人在一定期限内行使请求权，以促使义务人及时履行义务，维护法律秩序的稳定。同时，时效制度也体现了对权利人怠于行使权利的一种法律制裁。

• 法律建议：

  • 及时申请：行政机关在获得胜诉判决、裁定或调解书后，应密切关注被执行人的履行情况。一旦发现被执行人未按时履行义务，应及时向人民法院申请强制执行，避免超过申请执行时效期间。
  • 保留证据：在申请执行过程中，行政机关应保留好相关证据材料，如法律文书、履行通知、送达回证等，以证明其已依法行使请求权，并证明申请执行时效未中断或延长。
  • 关注时效中断与延长：如果因特殊原因导致申请执行时效中断或需要延长，行政机关应及时向人民法院说明情况，并提供相关证据材料，以争取人民法院的支持。

• 可能法律后果：如果行政机关超过申请执行时效期间申请强制执行，且没有正当理由的，人民法院将不予受理。这将导致行政机关无法通过司法途径强制被执行人履行义务，可能给国家利益或公共利益造成损失。因此，行政机关应高度重视申请执行时效问题，确保在法定期限内行使请求权。

举例说明：

假设某行政机关因某企业违法排污而对其作出行政处罚决定，并责令其限期整改。但该企业未按时履行整改义务，行政机关遂向人民法院提起行政诉讼并获得胜诉判决。判决生效后，该企业仍未履行义务。此时，行政机关应在判决规定的履行期间最后一日起二年内向人民法院申请强制执行。如果行政机关因疏忽或其他原因未能在该期限内申请执行，且没有正当理由的，人民法院将不予受理其申请。这将导致该企业的违法排污行为可能继续存在，给环境造成进一步损害。因此，行政机关应严格遵守申请执行时效规定，确保判决得到有效执行。