结论：在私人渔船上工作受伤，是否可以走劳动仲裁，关键在于是否构成劳动关系。若构成劳动关系，则可以申请劳动仲裁；若不构成，则可能需要通过其他途径解决。

分析说明：

1. 构成劳动关系的情况：

   • 劳动关系认定：根据《劳动和社会保障部关于确立劳动关系有关事项的通知》，劳动关系通常基于用人单位与劳动者之间的管理与被管理关系，以及劳动者提供劳动、用人单位支付报酬的实质要件来认定。在私人渔船上工作，如果船主以雇主身份对劳动者进行管理，并支付工资，且劳动者的工作是船主业务的一部分，那么可能构成劳动关系。
   • 劳动仲裁申请：一旦认定为劳动关系，劳动者在因工作受伤时，可以依据《劳动争议调解仲裁法》的规定，向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求船主承担相应的工伤赔偿责任。

2. 不构成劳动关系的情况：

   • 雇佣关系或承揽关系：如果私人渔船上的工作更倾向于一种临时性的雇佣关系或承揽关系，即劳动者只是按照船主的指示完成特定任务，并不接受船主的长期管理，且报酬是按任务或时间计算的，那么可能不构成劳动关系。
   • 其他解决途径：在不构成劳动关系的情况下，劳动者可能无法直接申请劳动仲裁。此时，劳动者可以根据具体情况，选择通过民事诉讼途径，依据《民法典》中关于侵权责任或合同责任的规定，向船主主张赔偿。

特别提醒：

• 证据收集：无论是否构成劳动关系，劳动者在受伤后都应尽快收集相关证据，如医疗记录、工作证明、工资支付记录等，以便在后续的法律程序中证明自己的权益。
• 法律咨询：由于劳动关系认定和工伤赔偿涉及复杂的法律问题，建议劳动者在受伤后及时咨询专业律师，以便更准确地了解自己的权益和可能的解决途径。

后续行动建议：

• 如果您认为自己在私人渔船上的工作构成了劳动关系，并且因工作受伤，那么您可以准备相关证据，向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
• 如果您不确定是否构成劳动关系，或者对劳动仲裁流程不熟悉，那么建议您直接向我咨询，我会根据您的具体情况，为您提供更详细的法律建议和帮助。