结论：在没有签订劳动合同的情况下，员工突发疾病死亡，老板可能需要承担的责任主要包括未签订劳动合同的法律责任以及视情况可能承担的工伤赔偿责任。以下是对这两种责任的详细分析：
一、未签订劳动合同的法律责任
双倍工资赔偿：
- 根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果员工在突发疾病死亡前已经在公司工作超过一个月且未签订劳动合同，老板需要支付双倍工资作为赔偿。
补订书面劳动合同：
- 同样依据《劳动合同法》第八十二条，用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。不过，这一条款主要适用于应订立无固定期限劳动合同而未订立的情形，对于本案例中的突发疾病死亡情况，主要关注的是双倍工资赔偿。
二、工伤赔偿责任（视情况而定）
工伤认定：
- 员工突发疾病死亡是否构成工伤，需要根据《工伤保险条例》的相关规定进行认定。一般来说，如果员工在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡，或者在48小时之内经抢救无效死亡，可以视同工伤。但具体是否构成工伤，还需要根据实际情况和证据进行判断。
工伤赔偿：
- 如果员工突发疾病死亡被认定为工伤，老板需要承担相应的工伤赔偿责任。这包括但不限于丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。具体赔偿标准和计算方式依据《工伤保险条例》的相关规定执行。
- 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
- 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
- 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
非工伤情况：
- 如果员工突发疾病死亡不被认定为工伤，老板则不需要承担工伤赔偿责任。但老板仍需承担未签订劳动合同的法律责任。
三、其他注意事项
- 证据收集：在处理此类案件时，证据的收集至关重要。老板应积极配合相关部门和机构的调查，提供必要的证据和资料，以证明自己的立场和权益。
- 法律咨询：由于劳动纠纷和工伤赔偿涉及复杂的法律问题，老板在处理此类案件时，建议咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到妥善维护。
建议：老板应尽快与员工家属沟通，了解具体情况，并咨询专业律师的意见，以便妥善处理后续事宜。同时，老板也应加强公司的人力资源管理，确保与所有员工签订书面劳动合同，以避免类似的法律风险。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。