签约第三方合同的被裁员，在一定条件下是可以申请赔偿的。以下从不同角度为你详细分析：
一、法律关系分析
当你与第三方公司签订合同后，实际上与第三方公司建立了劳动关系，而非与原公司（即派遣你的公司）存在劳动关系。因此，在探讨裁员赔偿问题时，主要依据的是你与第三方公司之间的劳动合同以及相关法律法规。
二、裁员赔偿的法律依据
经济补偿金：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除或终止劳动合同时，应当向劳动者支付经济补偿金，除非劳动者存在过错或双方另有约定。
- 经济补偿金的计算通常基于劳动者在用人单位的工作年限和月工资水平。具体来说，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 如果第三方公司违法解除劳动合同（如无正当理由裁员、未提前通知等），你除了可以要求支付经济补偿金外，还可以要求支付赔偿金。
- 赔偿金的数额通常是经济补偿金的两倍。
三、申请赔偿的条件与流程
条件：
- 你与第三方公司的劳动合同必须合法有效。
- 裁员行为必须违反了劳动合同或相关法律法规的规定。
- 你需要能够提供证据证明裁员行为的存在以及你的损失。
流程：
- 收集证据：包括劳动合同、工资单、裁员通知、工作记录等，以证明你与第三方公司的劳动关系以及裁员行为的存在。
- 协商：尝试与第三方公司进行协商，看是否能够达成赔偿协议。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求第三方公司支付经济补偿金或赔偿金。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，你还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的权益。
四、特殊情况考虑
- 劳务派遣中的特殊规定：如果你实际上是通过劳务派遣的方式被派遣到第三方公司工作的，那么还需要考虑劳务派遣的相关规定。在这种情况下，原公司（派遣单位）和第三方公司（用工单位）可能都需要承担一定的责任。但具体责任划分需要根据实际情况和法律法规来确定。
- 合同中的特别约定：如果你与第三方公司的劳动合同中有关于裁员赔偿的特别约定（如高于法定标准的赔偿、特定的赔偿条件等），那么这些约定将优先于法律法规的适用。
五、建议与提醒
- 在签订劳动合同时，务必仔细阅读合同条款，特别是关于裁员赔偿的部分，确保自己的权益得到充分保障。
- 如果遇到裁员情况，及时收集证据并咨询专业律师（即我，齐鹏律师，专注于刑事辩护、合同纠纷领域），以便更好地维护自己的权益。
希望以上分析能够对你有所帮助。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。