结论前置：即使在公司工作半年未签订劳动合同并被辞退，你依然有权维护自己的合法权益。通过收集证据、与公司协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等步骤，你可以有效争取到应有的权益。

一、明确法律地位与收集证据

首先，要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》，即便没有签订书面劳动合同，但实际在公司工作并形成了劳动关系，你仍然受到相关劳动法律的保护。为了维权，收集证据是关键一步：

1. 证明劳动关系的证据：

   • 工作记录类：如考勤表、工作日志、工作任务分配单等，这些能证明你在公司的日常工作内容和时间安排。例如，考勤表可以清晰显示你每天的出勤情况，是证明劳动关系的重要依据。
   • 薪资相关类：工资条、银行工资流水明细等，工资条上会有你的工资金额、发放时间等信息，银行流水则能体现工资的来源和金额变化，二者结合可以证明你与公司存在经济往来，即雇佣关系。
   • 沟通记录类：与上级或同事的工作邮件、聊天记录（如微信、QQ等），其中可能包含工作安排、任务讨论等内容，从侧面反映你在公司的工作状态。

2. 被辞退的证据：

   • 公司出具的辞退通知（如有）。
   • 与上级关于辞退事宜的沟通记录，如邮件、短信、聊天记录等。

二、明确权益受损点

1. 未签劳动合同的双倍工资差额：

   • 根据《劳动合同法》规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，你可以主张从第二个月起至第六个月的双倍工资差额。
   • 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (未签合同月数 - 1)。例如，若你的月工资为5000元，则双倍工资差额为5000元 × (6 - 1) = 25000元。

2. 违法解除的赔偿金：

   • 如果公司是违法辞退你，按照法律规定，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = 月工资 × 工作年限（半年以上按一年计算）× 2。例如，若你的月工资为5000元，工作年限为半年（按一年计算），则赔偿金为5000元 × 1 × 2 = 10000元。

三、与公司进行协商谈判

在收集了足够的证据后，可以尝试与公司的人力资源部门或直接上级领导进行沟通，明确指出公司未签订劳动合同以及违法辞退的行为违反了相关法律法规，要求公司给予合理的赔偿。在沟通时，要保持冷静和理性，清晰地表达自己的诉求和依据。你可以提出一个合理的赔偿方案，如计算出应得的双倍工资差额和违法解除的赔偿金数额，向公司提出具体的赔偿要求。

四、申请劳动仲裁

如果与公司协商无果，你可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。申请劳动仲裁时，需要准备以下材料：

1. 劳动仲裁申请书：应写明申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求（如要求支付双倍工资差额、赔偿金等）、事实和理由等内容。
2. 证据材料：将之前收集的各种证据进行分类整理，并按照仲裁委员会的要求提交副本。
3. 其他材料：如身份证复印件、公司的工商登记信息等。

仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，符合受理条件的，会在一定期限内予以受理，并通知双方当事人。在仲裁庭审中，你需要按照仲裁庭的程序进行陈述、举证、质证等环节，清晰地表达自己的诉求和理由，并提供充分的证据支持自己的观点。

五、提起诉讼（若对仲裁结果不满意）

如果对劳动仲裁结果不满意，认为仲裁裁决存在错误或不公正的情况，你可以在规定的期限内向有管辖权的人民法院提起诉讼。一般来说，起诉期限是自收到仲裁裁决书之日起十五日内。提起诉讼时，需要准备民事起诉状、仲裁裁决书复印件、相关证据材料等。在诉讼过程中，要遵循法院的诉讼程序，积极配合法院的审理工作，通过法庭调查、举证质证、法庭辩论等环节，充分阐述自己的观点和主张，争取法院的支持和判决。

最后提醒：在整个维权过程中，务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。