针对您提出的“合同到期不续签，但是员工协议没签并请了病假，公司怎么办”这一问题，以下是我的详细分析和建议：

一、核心结论

1. 医疗期保护原则：若员工处于法定医疗期内，无论劳动合同是否到期，公司均不得单方面终止劳动合同，合同应顺延至医疗期结束。
2. 合同顺延与书面通知：公司需通过书面形式通知员工合同顺延事宜，并明确顺延期限及双方权利义务。
3. 后续处理方案：医疗期结束后，根据员工恢复情况，公司可与员工协商续签、变更合同或依法解除劳动合同。

二、具体分析

1. 医疗期保护原则

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条和第四十五条的规定，劳动者在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同，且劳动合同期满的，应当延续至医疗期结束时终止。这意味着，如果员工当前处于法定医疗期内，即使劳动合同到期，公司也不能单方面终止合同。

2. 合同顺延与书面通知

• 合同顺延：若员工的医疗期跨越了原劳动合同的期限，合同应自动顺延至医疗期结束。在此期间，公司应继续履行支付工资、缴纳社保等义务。
• 书面通知：为避免后续争议，公司应通过书面形式（如邮件、信函）向员工发送《劳动合同顺延通知书》，明确顺延期限及双方权利义务，并要求员工签字确认。这既是公司的法定义务，也是保护自身权益的重要措施。

3. 后续处理方案

• 医疗期结束后恢复工作：若医疗期结束后员工能够恢复工作，公司可与员工协商续签劳动合同或变更合同条款（如调整岗位、工作时间等）。
• 医疗期结束后仍无法工作：若员工医疗期满后仍不能从事原工作或另行安排的工作，公司可依据《劳动合同法》第四十条的规定解除劳动合同，但需提前30日书面通知并支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准为：按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
• 员工拒绝续签：若医疗期结束后员工主动提出不续签合同，公司无需支付补偿金，但应结清工资、办理离职手续。

三、风险防范建议

1. 完善制度：公司应制定明确的医疗期管理制度，规范流程操作，确保在处理类似情况时有章可循。
2. 法律咨询：在复杂情况下，建议公司聘请专业律师审核方案，确保合法合规。
3. 人性化关怀：在合法合规的前提下，公司应体现对员工的人文关怀，如提供必要的帮助和支持，增强员工的归属感和忠诚度。

四、实际操作步骤

1. 核实医疗期：首先核实员工是否处于法定医疗期内，以及医疗期的具体期限。
2. 发送顺延通知：若员工处于医疗期内，公司应立即发送《劳动合同顺延通知书》给员工。
3. 沟通协商：在医疗期结束前，与员工或其家属沟通，了解病情及预计恢复时间，并协商后续处理方案。
4. 依法处理：根据医疗期结束后的实际情况，依法与员工续签、变更或解除劳动合同。

希望以上分析和建议能对您有所帮助。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。