结论：公司更换主体而员工不愿签署新合同的情况下，公司应谨慎处理，避免违法解除劳动合同或侵犯员工权益。具体处理方式需根据员工意愿、合同条款及法律规定综合判断。以下从多个角度进行分析：
一、法律背景与原则
劳动合同的连续性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位变更名称、法定代表人、主要负责人或者投资人等事项，不影响劳动合同的履行。这意味着，如果公司仅仅是更换主体（如名称变更、股东变更等），而实际工作内容、地点、薪酬等未发生实质性变化，员工应继续履行原劳动合同。
劳动合同的变更与解除：
- 若公司更换主体导致劳动合同内容发生实质性变更（如工作地点、岗位、薪酬等），则需与员工协商一致并签订书面变更协议。若员工不愿签署，公司不得单方面强制变更或解除劳动合同，否则可能构成违法解除，需承担相应的法律责任。
二、具体处理方式
与员工协商：
- 沟通解释：公司应首先与员工进行充分沟通，解释更换主体的原因、目的及对员工的影响，争取员工的理解和支持。
- 协商变更：若劳动合同内容确实需要变更，公司应与员工协商并达成一致意见，签订书面变更协议。
尊重员工意愿：
- 不愿签署新合同：若员工明确表示不愿签署新合同，公司应尊重其意愿，不得强制要求员工签署或以此为由解除劳动合同。
- 提供选择：公司可以考虑为员工提供其他选择，如维持原劳动合同条件、调整工作岗位或提供离职补偿等，以平衡双方利益。
依法处理劳动关系：
- 维持原合同：若员工不愿签署新合同且原劳动合同继续有效，公司应继续履行原劳动合同，确保员工的合法权益不受侵害。
- 解除劳动合同：若因公司更换主体导致原劳动合同无法继续履行，且双方无法就变更劳动合同达成一致意见，公司可以依据《劳动合同法》的相关规定，提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并依法支付经济补偿。
三、法律后果与风险防范
违法解除的法律责任：
- 若公司违法解除劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍。
风险防范措施：
- 完善合同条款：公司在制定劳动合同时，应明确约定在何种情况下可以变更劳动合同内容及变更程序，以减少纠纷发生的可能性。
- 保留证据：在与员工协商变更劳动合同或解除劳动合同的过程中，公司应保留相关证据（如书面通知、协商记录等），以证明其行为的合法性和合理性。
- 咨询专业律师：在处理此类复杂劳动关系问题时，公司应咨询专业律师的意见，确保其行为符合法律规定并降低法律风险。
建议：公司应谨慎处理更换主体而员工不愿签署新合同的情况，充分尊重员工的意愿和合法权益，通过协商、沟通等方式寻求双方都能接受的解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。