私人用工不签合同随意开除员工是不合法的。以下从几个方面为你详细分析：
一、不签合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私人用工没有与员工签订书面劳动合同，员工有权要求用人单位支付双倍工资作为赔偿。
二、随意开除员工的合法性
法定解除情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条，用人单位只有在特定情形下才能解除劳动合同，如员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害等。
- 如果私人用工没有合法依据，随意开除员工，就构成了违法解除劳动合同。
违法解除的法律后果：
- 经济赔偿：用人单位需要向被辞退的员工支付经济补偿金或赔偿金。经济补偿金的标准通常是按照员工的工作年限和月工资来计算，而赔偿金则是经济补偿金的两倍（在违法解除的情况下）。
- 行政处罚：如果用人单位的行为构成违法，还可能受到劳动行政部门的处罚，如罚款等。
- 声誉损害：随意开除员工可能会对用人单位的声誉造成负面影响，影响其招聘和业务发展。
三、合法开除员工的程序
即使员工存在法定可以解除劳动合同的情形，用人单位也需要遵循一定的程序来确保行为的合法性：
- 调查取证：收集员工违纪或不胜任工作的证据。
- 通知工会：如果用人单位有工会组织，需要提前通知工会并听取工会的意见。
- 书面通知：向员工发出书面的解除劳动合同通知书，明确说明解除的原因和依据。
- 办理手续：为员工办理离职手续，包括结算工资、转移社保等。
四、建议
对于员工：
- 如果遭遇私人用工不签合同或随意开除的情况，可以收集相关证据，如工作证、工资条、工作记录等，向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。
- 在工作过程中，尽量要求用人单位签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
对于用人单位：
- 遵守法律法规，与员工签订书面劳动合同，明确工作内容、工资待遇、工作时间等条款。
- 在解除劳动合同时，确保有合法依据，并遵循法定程序，避免违法解除带来的法律后果。
如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。