结论：在检察院作出行政案件不予监督决定书且未对新证据进行回应的情况下，您通常可以重新申请监督，但需满足一定条件并遵循法定程序。以下从多个角度为您详细分析：
一、法律依据与程序规定
《人民检察院行政诉讼监督规则》的相关规定：
- 根据该规则，如果申请人认为检察院的不予监督决定存在错误，或者有新的证据足以推翻原决定，可以依法向上一级检察院申请复查或复议。
- 特别地，如果新证据是在原不予监督决定作出后发现的，且该证据对案件结果有实质性影响，那么申请人有权基于新证据重新申请监督。
重新申请监督的条件：
- 新证据的存在：这是重新申请监督的关键。新证据应当是在原不予监督决定作出后新发现的，且足以改变原决定的结论。
- 未回应新证据的合理性：如果检察院在作出不予监督决定时，未对新证据进行审查或回应，且这种未回应影响了决定的公正性，那么申请人有权要求检察院重新审查。
二、实践操作与建议
准备充分的申请材料：
- 在重新申请监督时，您需要准备详细的申请书，说明重新申请监督的理由、新证据的内容及其对案件的影响。
- 同时，附上新证据的原件或复印件，以及任何其他支持您申请的材料。
遵循法定程序：
- 根据《人民检察院行政诉讼监督规则》的规定，重新申请监督应当向作出原不予监督决定的检察院的上一级检察院提出。
- 在申请过程中，遵循检察院的指引和要求，确保申请程序的合法性和有效性。
考虑其他救济途径：
- 如果重新申请监督未获支持，您还可以考虑通过行政诉讼等途径寻求救济。但请注意，行政诉讼有其自身的诉讼时效和程序要求，需及时咨询专业律师以了解具体细节。
三、可能面临的挑战与应对
检察院的审查标准：
- 检察院在审查重新申请监督时，会严格依据法律规定和证据规则进行判断。因此，您需要确保新证据的真实性、合法性和关联性，以增加重新申请监督的成功率。
时间成本与精力投入：
- 重新申请监督可能是一个耗时且精力投入较大的过程。您需要做好心理准备，并考虑是否值得为了维护自己的合法权益而投入这些资源。
四、具体行动建议
- 第一步：仔细审查原不予监督决定书，确认其中是否提及了您所掌握的新证据。如果未提及，分析未提及的原因是否合理。
- 第二步：收集并整理新证据，确保其真实、合法且与案件紧密相关。
- 第三步：撰写详细的重新申请监督申请书，阐述重新申请的理由、新证据的内容及其对案件的影响。
- 第四步：按照法定程序向上一级检察院提交申请书及新证据，并遵循检察院的指引和要求进行后续操作。
最后，我想强调的是，法律程序往往复杂且耗时，但它是维护您合法权益的重要途径。如果您在重新申请监督的过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。