结论：员工和公司签订无固定期限劳动合同的时间，并非固定于某个具体日期，而是取决于是否满足法律规定的特定条件或双方协商一致的结果。以下从法定情形和协商一致两个角度进行详细说明：
一、法定情形下签订无固定期限劳动合同的时间
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，在以下三种法定情形下，除非劳动者提出订立固定期限劳动合同，否则用人单位应当与员工签订无固定期限劳动合同：
连续工作满十年：
- 当劳动者在同一用人单位连续工作满十年时，即有权要求与该用人单位签订无固定期限劳动合同。这一条件强调的是“连续工作”和“满十年”两个要素。
- 示例：张三自2013年入职某公司，至2023年已连续工作满十年，此时若其提出续签要求，公司应与其签订无固定期限合同。
特定条件下的连续用工：
- 对于用人单位初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同的情况，若劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，则劳动者有权要求签订无固定期限劳动合同。
- 示例：某国企改制时，李四已在该企业连续工作15年且距离退休不足10年，改制后企业应与其签订无固定期限合同。
两次固定期限合同后的续订：
- 当劳动者与用人单位连续订立了两次固定期限劳动合同，并且在合同履行过程中没有出现《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形时，劳动者在第二次合同期满时有权要求续订无固定期限劳动合同。
- 示例：王五与公司连续签订两次三年期合同且无违规记录，第二次合同到期时公司应与其签订无固定期限合同。
二、双方协商一致签订无固定期限劳动合同的时间
除法定情形外，用人单位与劳动者也可通过协商一致的方式签订无固定期限劳动合同。这种协商需基于平等自愿原则，任何一方不得强迫对方接受。协商一致后，双方可以随时签订无固定期限劳动合同，不受上述法定条件的限制。
- 示例：新员工赵六入职时与公司达成协议，以技术入股为条件换取无固定期限合同，经双方书面确认后生效。此时，签订无固定期限劳动合同的时间就是双方达成协议并书面确认的时间。
三、视为无固定期限劳动合同的情形
此外，还有一种特殊情况需要注意，即用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这种情况下，签订无固定期限劳动合同的时间就是自用工之日起满一年的那一天。
- 示例：孙七入职某公司14个月未签合同，此时法律直接认定双方存在无固定期限劳动关系，签订无固定期限劳动合同的时间就是孙七入职满一年的那一天。
建议：在签订无固定期限劳动合同时，劳动者应仔细核对自己是否符合上述任一条件，并据此向用人单位提出签约要求。如有疑问或争议，可以直接向我咨询，我会为你提供更准确的法律意见和帮助。