结论：针对您年满55周岁、已签两次固定期限合同、到期未续签并又工作一年后被公司辞退的情况，公司应支付您经济补偿金，具体数额需根据您的工资水平和工作年限来计算。同时，若公司未提前通知您解除劳动合同，还可能需支付代通知金。

详细分析：

1. 经济补偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。此外，若用人单位未与劳动者续签劳动合同而劳动者继续工作，双方形成事实劳动关系，用人单位解除该事实劳动关系的，也应支付经济补偿。
   • 计算方式：经济补偿金的标准是按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 您的具体情况：您已签两次固定期限合同，到期未续签但继续工作一年，因此，您的工作年限应计算为至少三年（两次合同期加上未续签但工作的一年，具体需看两次合同的具体期限）。所以，公司应至少支付您三个月工资作为经济补偿金。若您的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，支付经济补偿的年限最高不超过十二年。

2. 代通知金：

   • 法律依据：在某些情况下，如用人单位未提前三十日以书面形式通知劳动者本人而解除劳动合同的，用人单位需额外支付劳动者一个月工资作为代通知金。但这一规定主要适用于用人单位单方面解除劳动合同且未提前通知的情况。
   • 您的具体情况：若公司未提前通知您解除劳动合同，且该解除行为不符合法定无需提前通知的情形（如劳动者严重违反用人单位规章制度等），则公司可能需支付您代通知金。然而，若公司是以劳动合同到期未续签为由解除劳动关系（尽管实际上您已继续工作一年形成事实劳动关系），则可能不直接适用代通知金的规定。但具体还需看公司解除劳动关系的具体理由和程序。

建议：

• 与公司协商：首先，您可以尝试与公司协商，要求公司按照法律规定支付经济补偿金和可能的代通知金。
• 申请劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付相应的经济补偿和代通知金。
• 准备证据：在申请劳动仲裁前，请确保您已收集好相关证据，如劳动合同、工资单、工作证明等，以证明您的工作年限和工资水平。

后续行动：

• 若您需要进一步的法律帮助或指导，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议。