结论：女工厂员工51岁被工厂辞退是否有补偿，需根据具体情况判断，主要涉及是否为违法解除劳动合同以及是否符合享受经济补偿或赔偿金的条件。以下从不同角度进行分析：

一、若工厂违法解除劳动合同

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

举例：假设该女员工在工厂工作了10年，月工资为5000元，若工厂违法解除劳动合同，则应支付给她的赔偿金为：\(10年 \times 5000元/年 \times 2 = 100000元\)。

二、若工厂合法解除劳动合同，但符合享受经济补偿的条件

1. 协商一致解除劳动合同：若工厂与女员工协商一致解除劳动合同，且工厂提出解除的，工厂应支付经济补偿。经济补偿的计算方式同上。

2. 女员工存在过错，但工厂解除程序合法且符合规定：虽然女员工可能存在某些过错，但如果工厂在解除劳动合同时遵循了法定程序，且符合相关规定（如提前通知、支付代通知金等，具体根据过错情况而定），同时女员工在工厂的工作年限较长，也可能涉及经济补偿的支付，但这种情况较为复杂，需具体分析。不过，通常若女员工存在严重过错（如严重违反规章制度、严重失职等），工厂解除劳动合同可能无需支付经济补偿。但在此问题中，我们假设女员工过错不构成工厂无需支付经济补偿的情形。

特殊情况说明：对于51岁的女员工，若其已达到法定退休年龄（目前女性工人法定退休年龄为50周岁，但需注意，部分地区或行业可能有特殊规定，且退休年龄政策可能随时间调整），且开始依法享受基本养老保险待遇的，劳动合同终止，此时工厂通常无需支付经济补偿。但若该女员工虽达到退休年龄，但未享受基本养老保险待遇，且工厂解除劳动合同非因其达到退休年龄，则仍可能涉及经济补偿的支付。

1. 经济性裁员：若工厂因经营困难等原因进行经济性裁员，且女员工符合被裁员的条件，工厂应支付经济补偿。经济补偿的计算方式同样为按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。

三、若工厂合法解除劳动合同，且不符合享受经济补偿的条件

若工厂因女员工存在严重过错（如严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等）而解除劳动合同，且解除程序合法，同时女员工不符合享受经济补偿的其他条件（如未达到法定退休年龄但已享受基本养老保险待遇等，不过这种情况较为罕见），则工厂无需支付经济补偿或赔偿金。

建议：对于该女员工而言，首先应明确工厂解除劳动合同的原因及程序是否合法。若认为工厂解除劳动合同违法或存在争议，可及时收集相关证据（如劳动合同、工资单、解除劳动合同通知书等），并向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可直接向我咨询。