结论：您作为跟私人开车的驾驶员，在被无故开除且没有签订劳动合同的情况下，是有可能获得赔偿的。具体赔偿情况需要根据实际的工作年限、工资水平以及是否存在其他违法行为等因素来确定。

详细分析：

1. 未签订劳动合同的双倍工资赔偿：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，您有权要求雇主支付从第二个月开始至第十个月的双倍工资差额。

2. 无故开除的赔偿：

   • 如果雇主没有合法理由无故开除您，这可能构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》的规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当向劳动者支付赔偿金。赔偿金的标准通常是按照您在单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于您工作了十个月，因此有权要求雇主支付一个月工资的赔偿金（若按违法解除算，实际可能获得双倍经济补偿，即两个月工资，但具体需根据实际情况和当地司法实践判断）。不过，这里需要注意的是，如果雇主能证明开除您有合法理由（如严重违反规章制度等），则可能不需要支付赔偿金。

3. 其他可能的赔偿或权益：

   • 除了上述双倍工资和赔偿金外，您还有权要求雇主支付您工作期间的应得工资、加班费（如果有的话）、未休年假的工资报酬等。
   • 如果雇主没有为您缴纳社会保险，您还可以要求雇主补缴社会保险或赔偿因此给您造成的损失。

建议行动：

• 收集证据：首先，您需要收集能够证明您与雇主之间存在事实劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等。
• 协商解决：尝试与雇主进行协商，看是否能够达成和解并获得相应的赔偿。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求雇主支付双倍工资、赔偿金以及其他应得的权益。
• 寻求法律帮助：在整个过程中，如果您感到困惑或需要专业的法律帮助，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。

注意事项：

• 劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年，从您知道或应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，请尽快采取行动以维护自己的权益。
• 在申请劳动仲裁前，建议您先了解清楚当地的劳动仲裁流程和所需材料，以便更好地准备和应对。