事业单位工作人员退休后因诬告陷害他人被行政拘留5日，单位可能采取的处理方式需结合具体情况分析，但核心结论是：单位可能依据内部规章制度、退休人员管理规定及事件社会影响程度，采取从轻到重的不同处理措施，包括但不限于批评教育、通报批评、取消相关待遇或移交相关部门处理。以下是具体分析：

1. 单位处理依据：内部规章制度与退休人员管理规定

事业单位对退休人员的管理虽不同于在职人员，但仍需遵守《事业单位工作人员处分暂行规定》等文件的精神（虽该规定主要针对在职人员，但单位内部规章制度可能延伸适用）。若单位规章制度明确规定“退休人员违法违纪的，可依据情节轻重给予相应处理”，则单位有权依据该规定对涉事退休人员采取措施。
关键点：需核查单位是否有针对退休人员的专项管理规定，或在职人员处分规定是否明确“退休后仍适用”的条款。

2. 处理措施的常见类型

• 批评教育或通报批评：若诬告陷害行为情节较轻、未造成严重后果，单位可能选择内部批评教育或通报批评，以警示其他人员。
  
• 取消相关待遇：若行为性质较严重（如多次诬告、造成他人名誉或财产损失），单位可能依据规定取消其部分退休待遇（如节日补贴、慰问金等），但需注意：基本养老金等法定待遇通常不受影响（依据《社会保险法》等规定）。
  
• 移交相关部门：若行为涉嫌犯罪（如诬告陷害罪），单位可能将案件移交公安机关或纪检监察机关，由司法机关依法处理。

3. 社会影响与单位自主权的平衡

单位处理时需权衡“维护内部秩序”与“尊重退休人员权益”的关系。若行为已引发社会舆论关注或损害单位声誉，单位可能倾向于从重处理；若行为隐蔽、影响较小，则可能从轻处理。
示例：若退休人员因琐事诬告同事，单位可能仅批评教育；若诬告导致他人被错误刑事拘留，单位可能取消其年度评优资格并通报批评。

4. 退休人员与单位的法律关系变化

退休后，事业单位与工作人员的劳动关系终止，双方转为“社会化管理关系”。因此，单位处理权限受限制，通常无法直接开除或降级，但可通过上述措施间接约束行为。
例外：若退休人员被判处刑罚（如诬告陷害罪成立），单位可能依据《事业单位工作人员处分暂行规定》第22条，报请主管部门批准后给予“降低或者取消其享受的待遇”处理。

建议

若您或家属涉及此类情况，建议：

1. 核查单位规章制度中关于退休人员违法违纪的处理条款；
   
2. 评估诬告陷害行为的情节轻重（如是否故意、是否造成实际损害）；
   
3. 与单位沟通时，强调“行政拘留非刑事处罚”，争取从轻处理；
   
4. 若对处理结果有异议，可依法申请复核或申诉。
   

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体细节。