面对交通事故中自己肇事逃逸后，对方借机索要巨额赔偿的情况，您需要采取一系列合理且合法的措施来应对。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议：

一、保持冷静，保留证据

首先，保持冷静是至关重要的。不要因为对方的索赔要求而慌乱或做出冲动的决定。接下来，尽快收集并保留所有与事故相关的证据，包括但不限于现场照片、警方事故认定书、车辆维修记录、医疗诊断证明等。这些证据将有助于您明确事故责任和实际损失情况，为后续处理提供有力支持。

二、了解法律规定，判断赔偿合理性

根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十四条，侵害他人财产的，财产损失应按照损失发生时的市场价格或其他合理方式计算。这是判断对方索赔金额是否合理的重要法律依据。在与对方沟通时，您可以明确指出其高额赔偿要求在法律上可能站不住脚，强调赔偿应基于事实和法律规定。

三、核实对方损失，确保赔偿真实性

仔细核查对方提出的赔偿项目和金额，如医疗费、车辆修理费等。您可以通过查看医院收费明细、咨询专业汽车维修机构等方式，评估合理的赔偿金额。如果发现对方提出的赔偿项目或金额存在不合理之处，您可以提出异议并要求对方提供合理的解释和证据。

四、积极沟通协商，寻求合理解决方案

主动与对方取得联系，表明您愿意承担合理赔偿责任的态度。要求对方详细列出赔偿项目和计算依据，找出不合理部分，并尝试协商一个双方都能接受的赔偿方案。在协商过程中，您可以考虑提出分期付款等方式，以减轻一次性赔偿的经济压力。

五、借助第三方调解，寻求公正处理

如果双方自行协商无法达成一致，您可以向处理事故的交警部门申请调解。交警部门具有丰富的事故处理经验，能够依据相关法律法规进行客观公正的调解。此外，您也可以请求人民调解委员会介入调解，以公正、公平的原则帮助双方寻找解决方案。

六、寻求保险赔偿，减轻经济负担

如果您购买了相关保险（如交强险或商业第三者责任险），可以向保险公司申请赔偿。在申请赔偿时，您需要提供相关证据和资料，并按照保险公司的要求进行操作。同时，您也需要了解并准备应对保险公司可能的追偿风险。

七、法律途径解决，维护合法权益

如果调解无法解决问题，建议您及时咨询专业律师，获取专业的法律建议和应对策略。若对方提起诉讼，您不要逃避，应积极应诉，按时提交答辩状和相关证据，在庭审中充分阐述自己的观点和理由。法院将依据事实和法律规定对赔偿金额作出公正的判决。

八、警惕敲诈勒索，及时报案处理

如果您发现对方存在敲诈勒索行为，如威胁、恐吓或提出明显不合理的赔偿要求等，您应及时向公安机关报案，维护自身合法权益。

总之，面对交通事故逃逸后对方索要高额赔偿的情况，您需要保持冷静、保留证据、了解法律规定、核实对方损失、积极沟通协商、借助第三方调解、寻求保险赔偿、法律途径解决以及警惕敲诈勒索。在整个过程中，请确保自己的合法权益得到维护，同时也要注意遵守法律法规，避免承担不合理的赔偿责任。