结论：无合同打零工，在家休息时突然死亡，一般不可以申请劳动仲裁，但可能存在其他法律救济途径。以下从不同角度进行分析：

一、劳动仲裁的适用范围与前提

劳动仲裁主要解决的是因履行劳动合同发生的争议，包括确认劳动关系、劳动合同的订立、履行、变更、解除和终止，以及工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训、劳动保护、劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等争议。其前提是双方存在劳动关系，且争议与劳动合同的履行直接相关。

二、无合同打零工的法律关系

无合同打零工，通常指的是未签订书面劳动合同，但实际提供了劳务的情况。这种情况下，双方可能构成事实劳动关系，但也可能仅构成劳务关系。事实劳动关系与劳务关系在法律上有着本质的区别：

1. 事实劳动关系：虽然未签订书面劳动合同，但双方实际履行了劳动权利和义务，如劳动者提供了劳动，用人单位支付了劳动报酬等。这种情况下，劳动者可能享受一定的劳动权益保护，如工伤保险待遇等（但需满足一定条件）。
2. 劳务关系：双方仅就劳务的提供与接受达成合意，不存在管理与被管理的关系，也不涉及社会保险等劳动权益。这种情况下，劳动者一般不享受工伤保险待遇等劳动权益保护。

三、在家休息时突然死亡的法律性质

在家休息时突然死亡，通常不属于工伤范畴。根据《工伤保险条例》的规定，工伤是指在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害，以及在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害等情形。在家休息时突然死亡，显然不符合上述工伤的定义。

四、可能的法律救济途径

虽然无法申请劳动仲裁，但根据具体情况，可能存在以下法律救济途径：

1. 如果构成事实劳动关系且死亡与工作有关（如因工作过度劳累导致在家休息时突发疾病死亡，但需满足一定条件）：

   • 可以尝试向社会保险行政部门申请工伤认定，但需提供充分证据证明死亡与工作有关。
   • 如果工伤认定成功，可以享受工伤保险待遇，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。

2. 如果仅构成劳务关系或无法证明死亡与工作有关：

   • 可能无法享受工伤保险待遇。
   • 但可以尝试与用人单位协商，看是否能获得一定的人道主义补偿或慰问金。
   • 如果协商无果，且存在其他侵权行为（如用人单位未提供安全的工作环境导致劳动者健康受损等），可以考虑通过民事诉讼途径寻求赔偿。

五、建议与注意事项

1. 收集证据：无论选择哪种法律救济途径，都需要收集充分证据来支持自己的主张。如工作记录、工资支付记录、证人证言等。
2. 及时咨询：由于法律问题复杂多变，建议及时咨询专业律师，以便根据具体情况制定合适的法律策略。
3. 注意时效：申请工伤认定、提起民事诉讼等都有一定的时效限制，需及时行使权利，以免丧失法律救济的机会。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。