在民事诉讼二审程序中，当事人增加诉讼请求的处理方式是一个需要细致考量法律程序与诉讼效率的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、一般原则与法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》及其相关司法解释，二审程序的主要目的是对一审裁判的正确性进行审查，而非重新审理整个案件或引入新的争议点。因此，当事人在二审程序中原则上不得提出新的诉讼请求。然而，法律也考虑到了一些特殊情况，允许在特定条件下增加诉讼请求，但这一权利受到严格限制。
具体法律依据包括《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第三百二十六条，它明确指出：“在第二审程序中，原审原告增加独立的诉讼请求或者原审被告提出反诉的，第二审人民法院可以根据当事人自愿的原则就新增加的诉讼请求或者反诉进行调解；调解不成的，告知当事人另行起诉。”
二、具体处理方式
调解解决：
- 二审法院会首先尝试通过调解的方式解决新增的诉讼请求。如果双方当事人能够达成调解协议，法院可以制作调解书结案，这样既能高效解决纠纷，又能维护双方当事人的和谐关系。
- 如果调解不成，法院会告知当事人另行起诉，即针对新增的诉讼请求单独提起一个新的诉讼。
合并审理（特殊情形）：
- 在某些特殊情况下，如果双方当事人同意由第二审人民法院一并审理新增的诉讼请求，并且法院认为合并审理不会影响案件的公正性和效率，那么二审法院可以一并裁判。
- 这种情况需要双方当事人的明确同意，并且法院会综合考虑案件的具体情况，如新增请求与原诉求的关联性、是否需要重新举证质证等因素来决定是否合并审理。
发回重审或改判（基于一审遗漏请求）：
- 如果原审原告在一审中提出了某项诉讼请求，但一审法院未予审理，且该请求与案件基本事实相关，那么二审法院可能会根据具体情况选择发回重审或对一审判决进行改判。
- 但需要注意的是，这并非直接增加诉讼请求的情形，而是对一审遗漏请求的纠正。
另行起诉：
- 对于二审中新增的独立诉讼请求，如果无法通过调解解决且不符合合并审理的条件，当事人应另行提起新的诉讼。
- 另行起诉虽然会增加当事人的诉讼成本和时间成本，但它确保了二审程序的稳定性和效率，避免了对原有一审判决的过度干扰。
三、注意事项
- 及时提出：当事人应在规定的期限内提出增加诉讼请求的申请，逾期可能被视为放弃权利。
- 提供证据：对于新增的诉讼请求，当事人需要提供充分的证据来支持其主张，否则可能面临败诉的风险。
- 考虑诉讼成本：另行起诉会增加当事人的诉讼成本和时间成本，因此在决定是否增加诉讼请求时应谨慎考虑，权衡利弊。
综上所述，民事诉讼二审中增加诉讼请求的处理方式需要遵循法律规定和诉讼程序，通过调解、合并审理（特殊情形）、发回重审或改判（基于一审遗漏请求）以及另行起诉等方式来妥善解决。当事人在提出新增诉讼请求时，应充分了解相关法律规定和程序要求，以便更好地维护自己的合法权益。