结论：下班后在公司园区被打伤肋骨骨折多根，公司是否承担责任需视具体情况而定，但一般而言，若公司未尽到安全保障义务，公司可能需要承担相应的补充责任。以下从不同角度进行分析：
一、公司责任的一般原则
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条的规定，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。虽然该条款未直接提及公司园区，但公司园区作为员工工作和生活的重要场所，公司作为管理者，同样负有安全保障义务。
二、公司可能承担责任的具体情形
公司未尽到安全保障义务：
- 如果公司园区存在安全隐患，如照明不足、监控缺失、安保人员不足等，且公司未采取有效措施进行改善，导致员工在下班后被打伤，那么公司可能因未尽到安全保障义务而承担相应的补充责任。
- 例如，如果公司园区内经常发生治安事件，但公司未加强安保措施或未报警处理，导致员工受伤，公司可能需要承担一定责任。
打人者与公司存在劳动关系或关联：
- 如果打人者是公司员工或与公司存在其他关联关系（如承包商、访客等），且打人行为与工作有关或发生在工作场所内，那么公司可能需要承担一定的管理责任或连带责任。
- 但在此案例中，打人行为发生在下班后，且未明确说明打人者与公司的关系，因此这一点的适用性需根据具体情况判断。
公司存在过错或故意：
- 如果公司明知存在安全隐患或打人风险，但故意隐瞒或未采取措施防止事故发生，那么公司可能需要承担更重的责任。
- 例如，如果公司收到员工关于园区治安问题的投诉，但未进行调查或处理，导致员工受伤，公司可能需要承担故意或过失的责任。
三、员工应采取的措施
及时报警并保留证据：
- 员工在受伤后应立即报警，并保留好相关证据，如医疗记录、监控录像、证人证言等，以便后续维权。
向公司提出索赔要求：
- 员工可以向公司提出索赔要求，要求公司承担相应的医疗费用、误工费等损失。如果公司拒绝承担责任，员工可以通过法律途径解决。
申请工伤认定（如适用）：
- 如果员工认为受伤与工作有关（如因工作原因引发纠纷导致受伤），可以向当地社会保险行政部门申请工伤认定。但在此案例中，打人行为发生在下班后，且未明确说明与工作有关，因此工伤认定的适用性需根据具体情况判断。
四、法律建议
咨询专业律师：
- 由于每个案件的具体情况不同，建议员工在受伤后及时咨询专业律师，以便更准确地了解自己的权益和维权途径。不过，作为李林华律师，我可以直接为你提供法律咨询，你可以直接向我提问。
关注公司安全保障措施：
- 员工在日常工作中应关注公司的安全保障措施是否到位，如发现安全隐患或治安问题，应及时向公司反映并要求改善。
加强自我保护意识：
- 员工应加强自我保护意识，避免在园区内单独行走或进入偏僻区域，以减少受伤风险。
综上所述，下班后在公司园区被打伤肋骨骨折多根，公司是否承担责任需视具体情况而定。如果公司未尽到安全保障义务或存在其他过错，公司可能需要承担相应的责任。员工在受伤后应及时报警、保留证据，并向公司提出索赔要求或申请工伤认定（如适用）。如有需要，你可以直接向我咨询相关法律问题。