编制教师和单位的聘用合同到期后，双方均有权选择不续签。以下是对此问题的详细分析：
一、合同性质与续签原则
编制教师聘用合同：
- 根据《事业单位人事管理条例》，事业单位与工作人员订立的聘用合同，期限一般不低于3年。合同期满，双方需协商续签事宜。若未协商并办理续签手续，合同不会自动续签。
- 续签原则：遵循平等自愿、协商一致的原则。双方应就续签合同的具体条款进行协商，包括合同期限、工作内容、劳动报酬等。
特殊情况：
- 在某些地区，符合特定条件的教师，如工作表现优秀，合同到期后若学校无异议且教师继续工作，可能会根据当地政策视为续签。但这种情况需以具体政策为准，并非普遍适用。
二、不续签合同的情形及后果
教师不同意续签：
- 若教师不同意续签，且用人单位未提出降低原合同约定条件续订劳动合同的，教师有权选择不续签，且无需承担任何法律责任。
用人单位不续签：
- 若用人单位在劳动合同期满后不提出续签，或提出的续签条件低于原合同约定条件，而教师不同意续签的，用人单位应向教师支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式：按教师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向教师支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向教师支付半个月工资的经济补偿。
三、续签程序与注意事项
提前通知：
- 用人单位应在合同到期前提前向教师发出续签劳动合同的意向书，注明原合同到期时间及续签相关事宜。
协商续签：
- 教师收到续签意向书后，应与用人单位就续签合同的具体条款进行协商。双方应充分沟通，确保续签合同的内容明确且具有法律约束力。
签订合同：
- 双方协商一致后，应签订新的劳动合同。合同内容应符合国家法律、法规的规定，不得违反强制性规定。
四、特殊情况下的无固定期限劳动合同
- 根据《中华人民共和国劳动法》第二十条，若教师在同一用人单位连续工作满十年以上，且双方同意续延劳动合同的，教师有权提出订立无固定期限的劳动合同。这为教师提供了一定的职业保障。
总结与建议：
编制教师和单位的聘用合同到期后，双方均有权选择不续签。若选择不续签，应根据具体情况判断是否需要支付经济补偿。在续签过程中，双方应遵循平等自愿、协商一致的原则，确保合同内容的合法性和有效性。若遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。