结论：公家单位员工因执行工作任务开车违章，自己处理后单位一般不能再给予相同性质的处罚，但若单位规章制度有特别规定且不违反法律法规强制性规定，可能存在额外管理措施；若员工非因执行工作任务开车违章，单位通常无权处罚，但可依据内部规定进行管理性处理。以下为详细分析：

1. 因执行工作任务开车违章
   • 从法律责任主体角度：根据《民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。在交通违章导致损害的情境下，若员工是因执行工作任务违章，此时法律责任主体首先是单位，员工自己处理违章（如缴纳罚款等）是在承担其作为驾驶人应尽的行政义务。单位在这种情况下一般不能再就同一违章行为对员工进行罚款等相同性质的处罚，因为这可能构成对员工的重复处罚，违反了“一事不再罚”原则。不过，“一事不再罚”原则主要适用于行政处罚领域，单位内部管理措施不完全受此严格限制。
   • 从单位规章制度角度：如果单位的规章制度中明确规定，员工因执行工作任务违章，在自行处理完违章后，单位还要根据违章情节的严重程度给予一定的内部处分，如警告、记过等，且该规章制度是经过民主程序制定、内容不违反法律法规强制性规定，并已向员工公示或告知的，那么单位可以依据规章制度对员工进行相应的内部管理处分。这种处分不属于行政处罚，而是单位内部的管理手段，目的是为了规范员工行为，维护单位正常的工作秩序。
2. 非因执行工作任务开车违章
   • 从法律关系角度：若员工是在非执行工作任务期间开车违章，此时员工与单位之间不存在因工作产生的法律责任关联。员工的违章行为是其个人行为，应由其个人承担相应的法律责任，如接受交警部门的行政处罚等。单位在这种情况下通常无权对员工进行罚款等处罚，因为单位并非交通违章行为的处罚主体，也没有法律授权单位可以对员工的个人违章行为进行处罚。
   • 从单位管理角度：虽然单位无权进行处罚，但为了加强内部管理，单位可以在规章制度中规定，员工非因工作原因的违章行为可能影响其在单位的绩效考核、评优评先等，或者要求员工在一定期限内改正此类行为，否则可能面临一定的管理性处理措施，如调整工作岗位等。这些管理性处理措施需要符合法律法规的规定，不能侵犯员工的合法权益。