在快手上购买电动车时，如果商家不开发票，这一行为确实是违法的。以下是对此问题的详细解答：
法律依据
《中华人民共和国发票管理办法》：该法规明确规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，必须向付款方开具发票。这是商家必须履行的法律义务。
《中华人民共和国消费者权益保护法》：此法规定，经营者提供商品或服务时，应按国家规定或商业惯例向消费者出具发票等购货凭证。消费者在索要发票时，经营者必须出具，不得拒绝。
《中华人民共和国电子商务法》：针对电子商务领域，该法也明确要求电子商务经营者销售商品或提供服务时，应依法出具纸质或电子发票，且电子发票与纸质发票具有同等法律效力。
《中华人民共和国税收征收管理法》：此法同样强调，在购销商品、提供或接受服务及从事其他经营活动时，单位和个人应按规定开具、使用、取得发票，这是税收管理的重要环节。
违法后果
如果快手上的商家拒绝开具发票，他们将面临税务机关的严厉处罚。这些处罚可能包括责令限期改正、没收违法所得、处以一定金额的罚款（通常不低于1万元），甚至在构成犯罪的情况下，将依法移送司法机关处理。
消费者维权途径
作为消费者，如果您在快手上购买电动车时遇到商家不开发票的情况，您可以采取以下措施来维护自己的权益：
与商家协商：首先，您可以尝试与商家沟通，明确要求其按照法律规定开具发票。
向税务机关投诉：如果协商无果，您可以向当地税务主管部门投诉举报，提供交易记录、聊天记录等证据，协助税务机关进行调查处理。
寻求法律援助：在遇到复杂情况或需要更具体法律建议时，您可以咨询专业律师或寻求法律援助，以获取更全面的法律支持。
综上所述，快手商家在销售电动车时拒绝开具发票是明确的违法行为，不仅损害了消费者的合法权益，也破坏了市场的公平竞争秩序。作为消费者，您有权依法维权，确保自己的权益不受侵害。