结论前置：员工签订了两次固定期限合同后，第三次忘记签订且已快一年，此时员工有权根据具体情况要求用人单位签订无固定期限劳动合同或获得相应的经济补偿。具体处理方式需依据未续签的原因（用人单位原因或劳动者原因）来确定。
一、法律基础与权益认知
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这意味着，在第三次合同到期后，若双方未续签书面合同，且满足上述条件，应视为已具备订立无固定期限劳动合同的条件。
二、用人单位原因未续签的处理方式
视为已订立无固定期限劳动合同：
- 从第三次固定期限劳动合同到期日起，若满足上述条件，视为双方已具备订立无固定期限劳动合同的情形。
- 员工可要求用人单位补签无固定期限劳动合同；若被拒绝，可向劳动监察部门投诉，责令用人单位改正。
支付双倍工资：
- 用人单位未与员工订立书面无固定期限劳动合同的，自应当订立之日起，需向员工每月支付二倍工资，最长支付期限为11个月。
- 员工可通过劳动仲裁主张该权益，注意仲裁时效为一年。
违法解除的赔偿金：
- 若用人单位违法解除无固定期限劳动合同，需支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿的标准为每工作一年支付一个月工资，月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、劳动者原因未续签的处理方式
- 劳动合同到期终止：
- 若员工主动表明不再续签，劳动合同到期即终止。
- 用人单位无需支付经济补偿。
- 员工需配合办理离职交接等相关手续。
四、维权途径与注意事项
与用人单位协商：
- 首先尝试与用人单位沟通，了解不续签原因，并提出诉求，如签订无固定期限劳动合同或经济补偿。
申请调解或仲裁：
- 协商无果时，可向当地劳动争议调解委员会申请调解。
- 调解不成，可向劳动仲裁委员会提起仲裁申请，仲裁具有法律效力。
提起诉讼：
- 若仲裁结果不满，员工可向人民法院提起诉讼，需准备充分证据支持主张。
证据收集与保留：
- 在整个过程中，员工应收集和保留相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以维护自身合法权益。
五、具体建议
对于员工：
- 首先确认自己是否满足订立无固定期限劳动合同的条件。
- 若满足条件且用人单位未提出续签，可主动要求用人单位补签无固定期限劳动合同或支付双倍工资。
- 若用人单位拒绝，可考虑通过劳动仲裁或诉讼途径维护自身权益。
对于用人单位：
- 应及时与员工沟通续签事宜，避免产生不必要的法律纠纷。
- 若员工满足订立无固定期限劳动合同的条件，应依法与其签订无固定期限劳动合同。
- 若因特殊原因无法续签，应依法支付经济补偿或赔偿金。
综上所述，员工在签订了两次固定期限合同后，第三次忘记签订且已快一年的情况下，应根据具体情况采取相应的措施来维护自己的权益。无论是要求订立无固定期限劳动合同还是寻求经济补偿，都应遵循法律法规，并通过合法途径进行维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。