结论前置：用人单位将劳动者任命为其他单位的董事长时，劳动关系的认定需根据实际情况，结合劳动合同、实际用工管理、工资支付及社保缴纳等因素综合判断。以下从不同角度进行分析：

1. 劳动合同签订主体与劳动关系

   • 若劳动者与原用人单位签订劳动合同，且未与新单位签订劳动合同：通常情况下，劳动者与原用人单位的劳动关系仍然存在。原用人单位作为劳动合同的一方，对劳动者负有管理、支付工资及缴纳社保等义务。即使劳动者被任命为其他单位的董事长，若其实际工作仍受原用人单位安排，且工资、社保等由原用人单位支付，则劳动关系仍归属于原用人单位。
   • 若劳动者与新单位签订劳动合同：若劳动者与新单位签订了劳动合同，并明确约定了工作内容、工资、社保等事项，且实际在新单位工作，接受新单位的管理，则劳动者与新单位之间形成了新的劳动关系。此时，劳动者与原用人单位的劳动关系可能因协商一致解除或因劳动者离职而终止。

2. 实际用工管理与劳动关系

   • 实际用工管理是判断劳动关系的重要依据：即使劳动者被任命为其他单位的董事长，若其实际工作仍受原用人单位的直接或间接管理，如工作安排、考核、奖惩等均由原用人单位决定，且工资、社保等由原用人单位支付，则劳动关系仍应认定为与原用人单位存在。
   • 若新单位对劳动者进行实际用工管理：若新单位对劳动者进行了实际的用工管理，如安排工作任务、进行绩效考核、支付工资及缴纳社保等，且劳动者实际在新单位工作，则劳动者与新单位之间形成了劳动关系。

3. 工资支付与社保缴纳与劳动关系

   • 工资支付与社保缴纳是劳动关系的重要体现：若劳动者的工资由原用人单位支付，且社保由原用人单位缴纳，即使劳动者被任命为其他单位的董事长，其劳动关系仍应认定为与原用人单位存在。
   • 若工资与社保由新单位支付与缴纳：若劳动者的工资由新单位支付，且社保由新单位缴纳，则劳动者与新单位之间形成了劳动关系。此时，劳动者与原用人单位的劳动关系可能因工资支付与社保缴纳的变更而发生变化。

4. 特殊情况下的劳动关系认定

   • 关联企业间的劳动关系认定：若原用人单位与新单位为关联企业，且劳动者在关联企业间流动时，未与原用人单位解除劳动合同，也未与新单位签订新的劳动合同，但实际在新单位工作，此时劳动关系的认定可能更为复杂。需根据实际情况，结合劳动合同、实际用工管理、工资支付及社保缴纳等因素综合判断。
   • 借调或委派情况下的劳动关系：若劳动者被原用人单位借调或委派至其他单位工作，且借调或委派协议中明确约定了劳动关系仍归属于原用人单位，则劳动者与原用人单位的劳动关系仍然存在。但若借调或委派协议中未明确约定，或约定不明确，则需根据实际情况判断劳动关系归属。

法律建议：在用人单位将劳动者任命为其他单位的董事长时，为避免劳动关系认定上的纠纷，建议原用人单位与新单位及劳动者三方签订明确的协议，明确劳动关系的归属、工资支付、社保缴纳等事项。同时，劳动者在面临此类情况时，也应仔细阅读相关协议，了解自己的权益和义务，如有疑问，可直接向我咨询。