关于公安机关签收当事人书面刑事控告状后的书面答复时间，法律并未明确规定具体的天数，但公安机关应当及时进行审查并给出处理结果或答复。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与公安机关的职责
《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 根据《刑事诉讼法》第一百一十条，任何单位和个人发现有犯罪事实或者犯罪嫌疑人，有权利也有义务向公安机关、人民检察院或者人民法院报案或者举报。
- 公安机关、人民检察院或者人民法院对于报案、控告、举报，都应当接受。对于不属于自己管辖的，应当移送主管机关处理，并且通知报案人、控告人、举报人；对于不属于自己管辖而又必须采取紧急措施的，应当先采取紧急措施，然后移送主管机关。
- 虽然法律没有明确规定公安机关签收书面刑事控告状后必须在多少天内给出书面答复，但公安机关有义务及时进行审查，并根据审查结果作出相应处理。
公安机关的审查与处理流程：
- 公安机关在收到书面刑事控告状后，会进行初步审查，以确定是否属于自己管辖、是否有犯罪事实需要追究刑事责任。
- 如果认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，公安机关会立案侦查；如果不属于自己管辖的，会移送有管辖权的机关处理。
- 在整个审查和处理过程中，公安机关可能会与控告人进行沟通，了解案件详情，但法律并未规定必须给出书面答复的具体时间。
实际操作中的建议
控告人可以主动询问进展：
- 如果控告人希望了解案件的审查进展或处理结果，可以主动与公安机关联系，询问相关情况。
- 公安机关在可能的情况下，应当向控告人通报案件的审查进展或处理结果。
保留好控告材料与回执：
- 控告人在提交书面刑事控告状时，应当要求公安机关出具回执，以证明控告材料已被接收。
- 同时，控告人应当保留好控告材料的副本和相关证据，以备不时之需。
寻求法律援助或咨询：
- 如果控告人对公安机关的处理结果不满意或认为公安机关未依法履行职责，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权利和救济途径。
总结来说，虽然法律没有明确规定公安机关签收书面刑事控告状后必须在多少天内给出书面答复，但公安机关有义务及时进行审查并根据审查结果作出相应处理。控告人可以主动询问案件进展，并保留好控告材料与回执，以便在必要时寻求法律援助或咨询。如果您在刑事控告方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。