结论前置：员工没签合同上班三个月被以迟到理由辞退是否合法，需根据具体情况判断，包括迟到的性质、对工作的实际影响以及用人单位规章制度的合理性与执行情况。
若迟到行为严重违反规章制度：
- 情况说明：若用人单位的规章制度中明确规定了迟到达到某次数或时长即视为严重违纪，且该制度已依法公示并告知员工，员工在知晓情况下仍多次违规，则用人单位可依据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定合法辞退员工，无需支付经济补偿金。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第二项规定，劳动者严重违反用人单位的规章制度的，用人单位可以解除劳动合同。
若迟到行为给用人单位造成重大损害：
- 情况说明：即使规章制度未明确迟到为严重违纪，但若员工的迟到行为直接导致了如错过重要商务谈判、生产延误等重大经济损失，用人单位同样可根据《劳动合同法》的相关规定解除劳动合同。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条第三项规定，劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可以解除劳动合同。
若迟到行为不构成严重违纪或未造成重大损害：
- 情况说明：对于因突发交通堵塞、个人紧急事务等合理原因导致的偶尔迟到，且未对工作造成实质性影响，用人单位直接辞退员工是不合法的。此时，辞退可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求用人单位按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。另外，若规章制度中对迟到的处理未作出明确规定，或虽有规定但未达到严重违纪的标准（如未明确迟到次数或时间），用人单位应先采取批评教育、警告等措施，而非直接辞退。
- 法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条规定，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。若用人单位违法解除劳动合同，则需按此标准的二倍支付赔偿金。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条并未将偶尔迟到或未造成重大损害的迟到列为用人单位可以解除劳动合同的情形。
关于未签合同的情况：
- 情况说明：虽然员工未与用人单位签订劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。因此，未签合同并不影响劳动关系的成立，也不影响用人单位或劳动者依法享有的权利和承担的义务。不过，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的，需承担一定的法律责任，如支付双倍工资等。但这与员工因迟到被辞退的合法性无直接关联。
- 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第七条规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。同时，该法第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
建议：
- 对员工：应严格遵守用人单位的规章制度，尽量避免迟到。如有特殊情况应及时沟通并说明原因。若因迟到被辞退且认为不合法，可依法维护自己的权益。
- 对用人单位：制定清晰、合理的规章制度，明确迟到的定义、处罚措施，并确保这些规定经过民主程序制定且向员工公示。在处理迟到问题时，应遵循法律法规，采取逐步升级的处罚方式，避免违法解雇带来的法律风险和经济损失。
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