核心前提：顾客在商家场所内，因门损坏且未关好导致猫放出，涉及赔偿问题。
结论与详细分析：
责任划分是关键：
- 商家责任：如果门的损坏是由于商家维护不当或存在安全隐患导致的，商家可能需承担主要责任。商家有义务确保场所内的设施安全，防止因设施问题导致顾客或第三方受损。
- 顾客责任：如果顾客在明知门损坏的情况下，未采取合理措施（如通知商家、自行小心关闭等）导致猫放出，顾客也可能需承担一定责任。特别是如果顾客的行为超出了正常使用的范围，或者存在疏忽大意。
赔偿范围与依据：
- 直接损失：如果猫放出后造成了直接的财产损失（如猫丢失、受伤治疗费用等），赔偿应基于这些直接损失进行。
- 间接损失：对于因猫放出而引发的间接损失（如因猫丢失导致的情感损失、因寻找猫而产生的费用等），赔偿的认定可能更为复杂，需根据具体情况和法律规定来判断。
- 法律依据：赔偿的依据主要是《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定。根据具体情况，可能涉及过错责任原则或无过错责任原则。
协商与诉讼途径：
- 协商解决：在责任划分和赔偿范围明确后，双方可以尝试通过协商达成赔偿协议。这通常是最快捷、最经济的解决方式。
- 诉讼途径：如果协商无果，任何一方都有权向法院提起诉讼，要求法院根据事实和法律作出判决。在诉讼过程中，需要提供充分的证据来支持自己的主张。
建议：
- 收集证据：无论是商家还是顾客，都应尽快收集与事件相关的证据（如监控录像、照片、证人证言等），以便在协商或诉讼中证明自己的主张。
- 及时沟通：双方应保持冷静和理性，及时沟通并尝试达成共识。如果无法自行解决，可以考虑寻求第三方调解或法律援助。
如有更多细节或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供更详细的法律建议。